最大・最小に関する問題－解答編－

最大・最小の問題

最大・最小の問題は、数学の様々な分野にあります。1次関数、2次関数、三角関数、指数関数、対数関数、など関数があれば、区間が区切られれば、値は変域に範囲ができます。等号条件がついているときや、極大値や極小値が存在するときには、最大値や最小値がでてくることになります。単元により解法は異なりますが、式をどのように取り扱えば問題の解決になるのかを、十分考えることが重要になります。
次に示した問題の解答を書きます。最大・最小の問題

最大・最小の問題の解答

【問題１】

実数\(a,b,c\)が、\(a+b+c=ａ^2+ｂ^2+ｃ^2＝１\)　とします。
このとき、ｃのとりうる値の範囲を求めてください。（南山大改）

【解答１】

条件式より、\(ａ+ｂ＝1－ｃ、ａ^2+ｂ^2＝1－ｃ^2\)となりますから、
\(ａｂ＝ｃ(1－ｃ)\)　よって、a,bは、\(ｔ^2－(1－c)ｔ+ｃ(1－ｃ)＝0\)･･･①
の解となります。ａ，ｂは実数ですから、①の判別式をＤとすると、
\(Ｄ＝(1－ｃ)^2－4ｃ(ｃ－1)≧0\)　よって、\((3ｃ+1)(ｃ－1)≦0\)ですから、
\(－1/3≦ｃ≦１\)　となります。

（*)これは落とせない問題です。方針に迷うこともありません。

【問題2】

実数ｘ、ｙが　\(ｘ^2+ｙ^2－2ｘｙ－4ｘ－4ｙ+6＝０\)　を満たすとき、
\(ｘ+ｙ、ｘｙ\)の最小値をそれぞれ求めてください。（同志社大）

【解答２】

この問題も落とせません。確実に答案を書き上げましょう。

\(ｘ+ｙ＝ｕ、ｘｙ＝ｖ\)　とおくと、\(x,yは、ｔ^2－ｕｔ+ｖ＝0\)の解ですから、この判別式をＤとすると、\(Ｄ＝ｕ^2－4ｖ≧0\)
よって、\(ｖ≦ｕ^2/4\)･･･････①
また、\(ｘ^2+ｙ^2－2ｘｙ－4ｘ－4ｙ+6＝ｕ^2－4ｖ－4ｕ+6＝0\)となり、
\(ｖ＝1/4･(ｕ－２)^2+1/2\)･･･････②

よって、②上の点(ｕ、v)が　①の範囲にあるときの、ｕ、ｖの最小値を求めればいいことになります。②を①に代入して整理すると、
\(1/4･(ｕ－2)^2+1/2≦1/4･ｕ^2　から、ｕ≧3/2\)　･･････③　となります。
\(ｕ≧3/2\)における\(ｖ＝1/4･(ｕ－２）^2+1/2\)のとりうる範囲は、
\(ｖ≧1/2\)　となります。よって、\(ｘ+ｙ\) の最小値は、\(3/2、ｘｙ\) の最小値は、\(1/2\)です。

【問題３】

角　\(α、β、γが、α+β+γ＝π、α≧0、β≧0、γ≧0\)を満たすとき、
\(cosα+cosβ+cosγ\)の最小値を求めてください。（京都大改）

【解答３】
\(cosα+cosβ+cosγ＝cosα+cosβ+cos(π－(α+β))\)＝\(cosα+cosβ－cos（α+β)\)＝\(２cos(α+β)/2･cos(α－β)/2－[２cos^2{(α+β)/2}^2－１]\)
＝\(２cos(α+β)/2･{cos(α－β)/2－cos(α+β)/2}＋１\)
＝\(２cos(π－γ)/2･(－2)sinα/2sin(－β/2)+１\)＝\(４sinα/2･sinβ/2･sinγ/2+1\)
となります。

ここで、\(α≧0、β≧0、γ≧0、α+β+γ＝π\)ですから、
\(0≦α/2≦π/2、０≦β/2≦π/2、0≦γ/2≦π/2\)となり、\(0≦sinα/2、sinβ/2、sinγ/2\)となりますから、\(４sinα/2･sinβ/2･sinγ/2≧0\)
従って、求める最小値は、１となります。

(注）現問題は、\(cosα+cosβ+cosγ≧1\)を示しなさいという問題でした。これであれば、かなり解きやすくなると思います。

【問題４】

頂点がｚ軸上にあり、底面がｘｙ平面上の原点を中心とする円である円錐とします。この円錐の側面が、原点を中心とする半径１の球に接しているとします。このとき
円錐の体積の最小値を求めてください。（一橋大）

【解答４】

ｚ軸を含む平面で円錐を切った切断面で考えます。底面の中心をＯとし、円錐の頂点をＡとします。題意の半球がこの断面の側面の接点をＤとし切断された三角形をＡＢＣとします。 円錐の高さを、ｈとすると、

\(ＡＤ＝\sqrt{h^2－1}\)となり、\(△OAB∽△BOD\)
となりますから、\(\sqrt{h^2－1}：ｈ＝1：BO\)から、\(BO＝ｈ/\sqrt{h^2－１}\)です。

\(V=1/3･π･BO^2･ｈ＝π/3･ｈ^3/(ｈ^2－１）＝π/3･1/(1/h－1/ｈ^3)\)
となりますから、\(ｔ＝1/ｈ\)とおけば、\(V=π/3･/(ｔ－ｔ^3)\)となります。

ここで、\(ｆ(t)＝ｔ－ｔ^3、(0＜ｔ＜1)\)　とおくと、\(ｆ’(t)＝1－3ｔ^2\)
ですから、\(0＜ｔ＜1でｆ'(t)\)の増減表を書くと、\(ｔ＝1/\sqrt{3}\) のときに
最小となります。よって、最小値は、\(\sqrt{3}/2・π\)　となります。

【問題５】

３辺の長さが、\(a,b,c\)の直方体があるとします。長さがｂの辺を1辺とする回転軸として90°回転させるとき、この直方体が通過する領域をVとします。
(1)Vの体積を求めてください。
(2)\(a+b+c＝1のとき、V\)の体積のとりうる値の範囲を求めてください。
(東大）

【解答5】

(1)Vの底面を考えると、底面がa,cの長方形となり、回転軸の長さは、\(\sqrt{a^2+ｃ^2}\)で、高さがｂの立体を、90°回転すればいいですから、
\(V=1/4･ｂ(π･ａ^2+ａｃ+π･ｃ^2)\)　となります。

(2)\(ａ+ｂ+ｃ＝1\)より、\(ａ+ｃ＝１－ｂ\)ですから、
\(V=1/4･{π(1－ｂ)^2+(4－2π)ac}ｂ\)･･･････①　となります。

ここで、\(ａｃ＝ａ(1－ａ－ｂ)＝－{ａ－(１－ｂ)}^2+1/4・(1－ｂ)^2\)で、
\(0＜a＜1－ｂ\)より、\(0＜ac≦1/4･(1－ｂ)^2\)です。

よって、①から、\((π+2)/8･(1－ｂ^2)ｂ≦V＜π/4･(1－ｂ^2)ｂ\)･････②
ここで、\(f(b)＝ｂ(1－ｂ)^2　(0＜ｂ＜1)\)とおくと、\(f(b)は、b=1/3\)で極大値を持ちます。また、\(f(0)＝f(1)＝0、f(1/3)＝4/27\)となりますから、
\(0＜V＜π/27\)　となります。