曲線の曲率、曲率半径、曲率円 -曲線の変化の仕方-
曲線の変化がどうなっているのかを調べる方法
通常は、3次元座標で考えますが、ベクトル解析を使いますので、大学の範囲になります。ここでは、0-xyの2次元座標で考えます。これであれば、割合理解しやすいと思います。
曲率の概念および定義
曲線y=f(x)上の点、P(x,y)、Q(x+Δx,y+Δy)における接線のx軸と成す角をθ、θ+Δθ とします。ここで、曲線の弧PQの長さをΔsとすると、Δθ/Δs の絶対値は、弧の長さ1あたりの接線方向の変化率を表していることになります。点Qを曲線y=f(x)上を動かして点Pに近づけたときに、その極限値、 κ=lim(Q→P)Δs/Δs を点Pの曲率といいます。Δl=lPQl=\(√((Δx)^2+(Δy)^2)\) とすると、lim(Q→P)Δs/Δl=1となります。また、Q→Pならば、Δx→0ですから、$$lim(Q→P)Δs/Δx=lim(Q→P)(Δs/Δl)・(Δl/Δx)=√(1+(y”)^2)$$・・① となります。y’=tanθ、Δy’=tan(θ+Δθ)-tanθ=Δtanθ とおくと、Δy’/Δx==(Δtanθ/Δθ)・(Δθ/Δs)・(Δs/Δx) であり、Δx→0(Q→P)とすれば、$$y”=(1+tan^2θ)・κ・lim(Δx→0)(Δs/Δx)=(1+(y”)^2)^{3/2}・κ$$ となりますから、κ=y”/{1+(y’)^2}^{3/2}} となり、これが曲線y=f(x)の曲率となります。
曲率半径
曲率κの逆数ρを点Pにおける曲率半径といいます。すなわち
\(ρ=1/κ=(1+(y”)^2)^{3/2}/y”\) がy=f(x)の点Pにおける曲率半径となります。