難関私立大医学部－解答編ＰａｒｔⅡ－

難関私立大医学部問題－昭和大医PartⅡ－

難関私立大医学部の一つである昭和大医学部の問題の解答の後半部です。問題リンクは、次です。難関私立大医学部－昭和大医学部－

難関私立大医・昭和大医学部-解答編PartⅡ-

【問題３】

次の各問に答えてください。答は結果のみを解答欄に記入してください。

(1)正の数\(a,b\)が\(ａ^3＋ｂ^3＝5\)を満たすとき、\(a+b\)のとりうる値の範囲を求めてください。

(2)\(ｘ＞0、ｘ≠1\)のとき、
\(1+1/\log_{2} x－1/log_{3} x＜0\)　を満たす範囲を求めてください。

(3)点\(P\)が楕円\(ｘ^2+5(y-1)^2＝5\)上を動くとき、線分\(OP\)の長さの最大値を求めてください。

【解答３】

(1)\(a+b＝ｐ、ab＝q\)　とおくと、
\(a,bは、ｔ^2－pt+ｑ＝0\)の実数解より、\(D=p^2－4q≧0\)････①
\(a,b\)は正の実数より、\(p,q＞0\)となります。

条件式\(ａ^3＋ｂ^3＝5\)から、\(p^3＝5+3pq\)　よって、\(q＝(p^2－5)/3p\)･･･････②
②を①に代入すると、\(ｐ^3≦20、また、ｐ＞0、ｐ^3－5＞0\)
以上より、\(\sqrt[3]{5}<a+b≦\sqrt[3]{20}\) となります。

(2)　対数の条件は満たしているので、与えられた式の底を\(ｘ\)に統一
すると、\(\log_{x}2x/27＜0\)
よって、\(0＜ｘ＜1、1<x\)に分けて計算すると,\(1＜ｘ＜27/2\)

(3)　\(P=(\sqrt{5}cosθ,sinθ+１）とおけます。(0≦θ＜２π)\)
よって、\(OP^2＝－4sin^2θ+２sinθ+6＝－(sinθ－1/4)^2
+25/4\)　従って\(sinθ＝1/4のとき、最大値OP＝5/2\)

【問題４】

次の各問に答えてください。答えは解答のみ解答欄に記入してください。

(1)２つの曲線
\(ｙ＝1/\sqrt{3}･ｘ(x-\sqrt{3}),　ｘ＝1/\sqrt{3}･ｘ(x-\sqrt{3})\)
があります。
(1-1)この２つの曲線の交点を求めてください。

(1-2)この2つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めてください。

(2)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(ａ\sqrt{２ｘ^2+ｘ+1}－bx)＝2\)
が成り立つような実数\(a,b\)の値を求めてください。

(3)\(ｘ≧0\)のとき、\(ｘ\)の関数

\(f(x)＝\displaystyle \int_{0}^{ｘ} ３^t(３^t－4)(x－ｔ)dx\)

の最小値を与える\(ｘ\)の値を求めてください。

【解答4】

計算問題主体です｡解答を書いておきます。それ程難しい問題ではないですが、時間と計算精度の勝負だと思います。

(1)（1-1）\((0,0)　(2\sqrt{3},2\sqrt{3})\)
(1-2)　\(8\)
(2)　\(ａ＝4\sqrt{2}、b=8\)
(3)　\(ｘ＝\log_{3} 7\)