文系入試問題演習

文系入試問題

国立大学の文系学部でも数学が課されています。最近では、統計学や解析学を必要とする学科が文系でも増えてきました。
論理的な考え方を習得すること、大学に入ってから困らないように、しっかり数学も演習をしましょう。

文系入試問題演習

【問題1】

正の整数　\(n\)　の各位の数の和を　\(S(n)\)　であらわします。例えば\(S(3)=1、S(10)=2、S(516)=12\)　です。
（１）\(n≧10000\)　のとき、\(n＞30S(n)+2020\)　であることを、示してください。
（２）\(n=30S(n)+2020\)　を満たす　\(n\)　を全てもとめてください。

【問題2】

\(－1≦ｔ≦1\)とし、曲線　\(y=(x^2－1)/2\)　の　\(x=t\)　における接線を　\(l\)　とします。
半円　\(x^2+ｙ^2＝1(y≦0)\)　と　\(l\)　で囲まれた部分の面積を　\(S\)　とするとき、そのとりうる範囲を求めてください。

【問題3】

\(3個\)　のさいころを同時に投げます。
（１）出た目の積が　\(6\)　となる確率をもとめてください。
（２）出た目の確率が　\(1/k\)　となる確率が　\(1/36\)　となる　\(k\)　を全て求めてください。

【問題4】

\(p,q\)　を正の実数とします。原点を　\(O\)　とする直交空間座標の　\(3点\)　\(P(p,0,0),Q(0,q,0),R(0,0,1)\)　は　\(∠PRQ=π/6\)　を満たします。四面体\(OPQR\)　の体積の最大値を求めてください。

【問題5】

\(a\)　を実数とし、\(f(x)＝ｘ－ｘ^3、g(x)＝a(ｘ－ｘ^2)\)　とします。\(y=f(x)、y=g(x)\)　は　\(0<x<1\)　に共有点を持つとします。
（１）\(a\)　のとりうる値の範囲を求めてください。
（２）\(y=f(x)　と　y=g(x)\)　で囲まれた　\(2\)　つの部分の面積が等しくなるような　\(a\)　を求めてください。

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