整数解・有理数解の問題－整数や有理数の存在を調べる－

ピタゴラスの定理、フェルマーの大定理と整数解・有理数解

ピタゴラスの定理は、直角三角形の３辺x,y,zについて、\(ｘ^2+ｙ^2＝ｚ^2\)が成り立つところから来ています。ピタゴラスの定理が成り立つ整数解をピタゴラス数と言い、これには無数の整数解があることは既に説明しました。

また、フェルマーの大定理、すなわち　\(ｘ^n+ｙ^n＝ｚ^n（n≧３の自然数）\)は、整数解が無いことは、Willesにより360年かけて証明されたことも説明いたしました。このときに使われたのは、楕円曲線\(ｙ^2＝ｘ^3+ａｘ+ｂ\)　に関する谷山・志村予想を証明したわけです。ここで、ピタゴラスの定理をｘｙ座標で図形的に見ると、中心が原点の円だとみなす事ができます。

円上の整数解、有理数解

それでは、ピタゴラスが成り立ってはいませんが、\(ｘ^2+ｙ^2＝２\)　は整数解ないし有理数解はもつのでしょうか。また\(ｘ^2+ｙ^2＝３\)はどうでしょうか。これは、問題といたしましょう。

楕円曲線上の整数解について

楕円曲線\(ｙ^2＝ｘ^3+ｘ\)　には整数解が（0,0)しかありませんが、それでは　\(ｙ^2＝ｘ^3+ｘ^2\)はどうでしょうか。

また、\(ｙ^2＝ｘ^3-ｘ^2-ｘ+１\)はどうでしょうか。楕円曲線は、突っ込むと相当難しくなりますが、このくらいのものなら、入試問題にだしても大丈夫でしょう。これらも問題としておきましょう。

整数解・有理数解の問題

【問題１】\(ｘ^2+ｙ^2＝２\)　は整数解ないし有理数解はもつのでしょうか。

【問題２】\(ｘ^2+ｙ^2＝３\)　は整数解ないし有理数解はもつのでしょうか。

【問題３】楕円曲線\(ｙ^2＝ｘ^3+ｘ^2\)は、整数解ないし有理数解をもつか調べてください。

【問題４】楕円曲線\(ｙ^2＝ｘ^3-ｘ^2-ｘ+１\)は、整数解ないし有理数解をもつか調べてください。