整数の問題－難関大でもよく出題されます。

整数の問題・難関大でも出題されます

整数の問題、整数解の問題は、数学の分野としてもかなり難しい問題が
多くあります。新課程から、数学Ⅰに整数の分野が入ってきました。
これまでも、整数や自然数の問題は、難関校をはじめ多く出題されており
難しい問題も多々あるようです。整数の問題は、問題そのものは割合たやすく
理解できるのですが、奥の深い問題が多くあります。ここでは、整数の問題の
解法をマスターしましょう。問題４はおまけです。

整数の問題

【問題１】

$x^2－3ｙ^2＝17$は整数解をもたないことをしめしてください。

【問題２】

ある自然数$n$を考えるとき、$１とn$を含めた約数の和が$n$に
に等しくなるとき、$n$を完全数といいます。$m$を自然数とするとき
$３^m$は完全数にならないことを示してください。

【問題3】

$n$を自然数とするとき、$9^{n+1}－8n－９$は、$64$で割り切れる
ことを示してください。

【問題4】

$18446744073709551617$を素因数分解してください。