整数の問題－解答編－

整数の問題の解き方

整数の問題と合同式について説明しましたが、そこで挙げた問題の解答を示します。易しそうですが、やりにくくもあります。整数や自然数の問題では、合同式を使うこと、素因数分解を考えてみる事などが、問題解決の糸口になることがあります。ここにあげた問題は、自然数を素因数分解したらどうなるかを考えることになります。

問題の解答

問題は、以下のものでした。

１２個の約数を持つ自然数のうち、最小のものを求めてください。ただし自然数ｎの約数には、１とｎを含むものとします。（私立大医学部）

【解答】

１２個の約数をもつ自然数をＮとします。\(１２＝２^2･３\)ですから、Ｎは、\(Ｎ＝ｐ^a、ｐ^a･ｑ^b、ｐ^a･ｑ^b･ｒ^c\)　のどれかでなければなりません。ここで、ｐ、ｑ、ｒは素数で、ａ、ｂ、ｃは自然数です。

①　\(Ｎ＝ｐ^a\)　の時は、ａ＋１＝１２ですから、ａ＝１１です。

Ｎはｐ＝２の時、最小値となりますから、\(Ｎ＝２^{11}＝２０４８\)

②　\(Ｎ＝ｐ^a･ｑ^b\)　の時は、約数の数は、（ａ＋１)(ｂ+１)＝１２

これより、ａ≧ｂとすれば、（ａ、ｂ）＝（３、２）（５、１）となります。

（ａ、ｂ）＝（３、２）の時は、ｐ＝２、ｑ＝３の時に最小になりますから、\(Ｎ＝２^3･３^2＝７２\)となります。

また、（ａ、ｂ）＝（５、１）の時は、ｐ＝２、ｑ＝３でＮは最小になりますから、\(Ｎ＝２^5･３＝９６\)

③　\(Ｎ＝ｐ^a･ｑ^b･ｒ^c\)　の時は、

約数の数は、（ａ＋１)(ｂ＋1)(ｃ＋１）＝１２です。ａ≧ｂ≧ｃとすれば、

（ａ、ｂ、ｃ）＝（２、１、１）となります。よって、Ｎが最小になるのは、ｐ＝２、ｑ＝３、ｒ＝５のときですから、\(Ｎ＝２^2・３・５＝６０\) となります。

以上、①、②、③より、求める最小値は、６０となります。･････（答）

 

関連記事は、下記のリンクにあります。