整数の問題－易しそうで難しい問題の多い単元－

整数解について

整数解の問題は、１見易しそうに見えて、実際やってみると相当難しい問題が 結構あります。フェルマーの定理も、その内容は中学生にもわかりますが、 問題の証明は極めて難しいものです。

ここでは、整数解を求める問題の演習を やってみましょう。ある程度のひらめきや、慣れが必要なのが整数解の問題です。

整数解の問題

【問題１】

\(ｍ^2＝２^{n}＋１\)を満たす自然数m,nをすべて求めてください。

【問題２】

次の(1)、(2)を証明してください。

(1) \(1+1/2^k+1/３^k+････････+1/ｎ^k\)は整数ではありません。

(2)\(1+1/2+1/3+････････+1/ｎ\)　は整数ではありません。

【問題３】

ａ，ｂを３より大きい素数とするとき、\(ａ^2－ｂ^2\)　は２４で割り切れる
ことを証明してください。

【問題４】

連立方程式
\(ｘ+ｙ+ｚ＝240、97ｘ+56ｙ+3ｚ＝16047\)　の整数解を求めてください。