整数の問題

2017年の整数に関する入試問題

2017年度には整数問題に関する入試問題が結構出題されています。整数の問題は、2015年の新課程入試から、本格的に出題されるようになりました。これ以前にも整数問題は、割合出題されており受験生にも馴染みがあるのかもしれません。今後も出題されるものと思われます。

整数の問題

【問題1】

次の２つの条件(1)、(2)をともに満たす自然数$N$を求めてください。
(1)　$N$の正の約数は、$12$個
(2)$N$の正の約数を小さいほうから順に並べたとき、$7$番目の数は、$12$

ただし、$N$の約数は、$1$と$N$も含めるとします。

【問題2】

$p,q$を自然数とし、$α，β$を

$tanα＝1/p$　、$tanβ＝1/q$

を満たす実数とします。このとき

$tan(α+2β)=2$

を満たす自然数の組$p,q)$を全て求めてください。

【問題3】

$a,b,c$　を1以上7以下の相異なる自然数とします。

(1)2次方程式　$ax^2+bx+ｃ=0$が有理数解をもつような、自然数の組$a,b,c)$の総数を求めてください。

(2)2次方程式　$ax^2+bx+ｃ=0$が、少なくとも１つの整数解をもつような自然数の組$a,b,c)$の総数を求めてください。

【問題4】

$n$を自然数とします。

(1)$8^n$を$11$で割った余りが$3$となる$n$を全て求めてください。

(2)$11^n$を$17$で割った余りが$4$となる$n$を全て求めてください。

(3)　(1)と(2)の条件を同時に満たす$n$を全て求めてください。