整数に関する問題－難関大・解答編－

整数に関する問題－難関大・解答編－

難関大の整数に関する問題は、難しい問題や、解きにくい問題も結構出題されています。難関大の問題はパターン化された問題は多くはありませんので、思考力や推理力を必要とされる場合が多くなっています。そのようなトレーニングを積むことも重要だと思います。問題は、以下のリンクにあります。整数の問題－難関大－

整数の問題

【問題１】

\(n^2－ｎ[\log_{a} n]^2+８＝0\)を満たす整数があるとします。実数\(a\)の値の範囲を求めてください。 [ ] はガウス記号です。（九州工大）

【解答１】

\(\log_{a} n\)の条件より、\(a>0,a≠1、n＞0の整数\)　･････････････①
このもとに、条件式は以下のように変形できます。

\([\log_{a} n]^2＝n+8/n･････････････②\)
②式より、\(n+1/n\)は自然数の平方数です。よって、\(n\)は\(8\)の約数であるから、\(n=1,2,4,8\)です。
このうち、②を満たすのは、\(n=8\)でこのとき②式は、
\([\log_{a} n]^2＝9\)　ですから、\([\log_{a} n]＝±3\)となります。
よって、
1)　\([\log_{a} 8]＝3\)のときは、\(3≦\log 8/\log a<4\)から、\(\sqrt[ 4 ]{8}<a≦2\)
2)　\([\log_{a} 8]＝－3\)のときは、同様にして、\(\sqrt{2}/4<a≦1/2\)
となります。

【問題2】

正の整数\(n\)に対して、１と自分自身も含めた全ての約数の和を\(S(n)\)とします。
（1）\(k\)を正の整数とし、\(p\)を3以上の素数とするとき、\(S(2^kp)\)を求めてく
ださい。
(2)　\(S(2016)\)を求めてください。
(3)　\(2016\)の正の約数\(nで、S(n)＝2016\)となるものを全て求めてください。
（名古屋大学）

【解答２】

(1), (2)　は易しいので、答えを示します。(1)　\((1+p)(2^{k+1}－1)\)　(2)　\(6552\)

(3)　\(2016＝2^5・3^2・7\)　と素因数分解されますから、\(n=2^k・3^l・7^m\)　と書けます。
\(ここにk,l,mは、自然数で　0≦k≦5、0≦ｌ≦2、0≦ｍ≦1\)
\(ｍ＝0とｍ＝1\)について\(n\)を考えると、

a)　\(m=0\)のとき、\(n=2^k・3^l\)で\(ｌ\)の値を考察すると、題意に適する\(n\)は存在しない。
b)　\(m=1\)のとき、\(n=2^k・3^l・7\)　だから、

\(S(n)＝(1+2+････････+2^k)(1+3+･･･････+3^l)(1+7)＝8(2^{k+1}－1)(1+3+･･････+3^l)\)
より、\(S(n)＝2016\)になるには、\(8(2^{k+1}－1)(1+3+･･････+3^l)＝2016\)から、
\((2^{k+1}－1)(1+3+･･････+3^l)＝252\)　･････････①　となります。

ここで、\(ｌ＝0,1,2\)　で　①を満たす\(k\)が存在するかどうかを調べると、
\(l=1\)のとき、\(k=5\)のみが、①を満たします。

よって、求める\(n\)は、\((k,l,m)＝(5,1,1)\)のときで、\(n＝2^5・3^1・7^1＝672\)です。

【問題3】

\(n\)を4以上の自然数とします。ここに書かれた数が全て\(n\)進法で表されているも
のとし、\(２^{12}＝1331\)が成り立っています。この時の\(n\)を10進法で求めて
ください。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（京都大学）

【解答３】

題意より、\(2^{n+2}＝ｎ^3+3ｎ^2+3ｎ+1より、2^{n+2}＝(n+1)^3\)･････････①

①式より、２は素数だから、\(n+1＝2^k、ｋ≧3（ｎ≧4の自然数より）\)とおけます。
従って、①式は、\(2^{2^k+1}＝2^{3k}\)　ですから、\(2^k+1＝3k\)････････②
②は、\(k=3\)で成り立ちます。\(y=２^x+１、と　y=3x\)を\(x>3\)で比較すると
\(２^x＋１＞3x\)　よって、②が成り立つのは、\(k=3\)のみです。
従って、\(n＝2^3－１＝7\)　となります。

【問題4】

\(n\)を2以上の自然数とします。\(n\)が素数でなく、かつ４でもないとき、
\((n－1)！は、n\)で割り切れることを示してください。（東工大）

【解答4】

\(n\)が素数でなく、かつ４でもないとき、
\(n＝k･l、かつ　k、l≧2\)となる\(自然数k,l\)が存在します。ただし、\((k,l)≠(2,2)\)
ここで、

1)\(k≠l\)の場合、\(k,l<kl\)ですから、\(１,2,･･････････,n－1＝kl-1\)の中に、\(k,l\)
が含まれますから、\((n-1)!は、n\)で割り切れます。

2)\(k=l\)の場合、\(k≧3\)ですから、\(2k<k^2\)となります。従って、\(1,2,･･･････,k^2－1\)
のなかに、\(kと2k\)が含まれますから、\((n-1)!は、n\)で割り切れます。

以上より、問題は証明されました。(Q.E.D.)