整数に関する問題－難関大・解答編－

整数に関する問題－難関大・解答編－

難関大の整数に関する問題は、難しい問題や、解きにくい問題も結構出題されています。難関大の問題はパターン化された問題は多くはありませんので、思考力や推理力を必要とされる場合が多くなっています。そのようなトレーニングを積むことも重要だと思います。問題は、以下のリンクにあります。整数の問題－難関大－

整数の問題

【問題１】

$n^2－ｎ[\log_{a} n]^2+８＝0$を満たす整数があるとします。実数$a$の値の範囲を求めてください。 [ ] はガウス記号です。（九州工大）

【解答１】

$\log_{a} n$の条件より、$a>0,a≠1、n＞0の整数$　･････････････①
このもとに、条件式は以下のように変形できます。

$[\log_{a} n]^2＝n+8/n･････････････②$
②式より、$n+1/n$は自然数の平方数です。よって、$n$は$8$の約数であるから、$n=1,2,4,8$です。
このうち、②を満たすのは、$n=8$でこのとき②式は、
$[\log_{a} n]^2＝9$　ですから、$[\log_{a} n]＝±3$となります。
よって、
1)　$[\log_{a} 8]＝3$のときは、$3≦\log 8/\log a<4$から、$\sqrt[ 4 ]{8}<a≦2$
2)　$[\log_{a} 8]＝－3$のときは、同様にして、$\sqrt{2}/4<a≦1/2$
となります。

【問題2】

正の整数$n$に対して、１と自分自身も含めた全ての約数の和を$S(n)$とします。
（1）$k$を正の整数とし、$p$を3以上の素数とするとき、$S(2^kp)$を求めてく
ださい。
(2)　$S(2016)$を求めてください。
(3)　$2016$の正の約数$nで、S(n)＝2016$となるものを全て求めてください。
（名古屋大学）

【解答２】

(1), (2)　は易しいので、答えを示します。(1)　$(1+p)(2^{k+1}－1)$　(2)　$6552$

(3)　$2016＝2^5・3^2・7$　と素因数分解されますから、$n=2^k・3^l・7^m$　と書けます。
$ここにk,l,mは、自然数で　0≦k≦5、0≦ｌ≦2、0≦ｍ≦1$
$ｍ＝0とｍ＝1$について$n$を考えると、

a)　$m=0$のとき、$n=2^k・3^l$で$ｌ$の値を考察すると、題意に適する$n$は存在しない。
b)　$m=1$のとき、$n=2^k・3^l・7$　だから、

$S(n)＝(1+2+････････+2^k)(1+3+･･･････+3^l)(1+7)＝8(2^{k+1}－1)(1+3+･･････+3^l)$
より、$S(n)＝2016$になるには、$8(2^{k+1}－1)(1+3+･･････+3^l)＝2016$から、
$(2^{k+1}－1)(1+3+･･････+3^l)＝252$　･････････①　となります。

ここで、$ｌ＝0,1,2$　で　①を満たす$k$が存在するかどうかを調べると、
$l=1$のとき、$k=5$のみが、①を満たします。

よって、求める$n$は、$(k,l,m)＝(5,1,1)$のときで、$n＝2^5・3^1・7^1＝672$です。

【問題3】

$n$を4以上の自然数とします。ここに書かれた数が全て$n$進法で表されているも
のとし、$２^{12}＝1331$が成り立っています。この時の$n$を10進法で求めて
ください。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（京都大学）

【解答３】

題意より、$2^{n+2}＝ｎ^3+3ｎ^2+3ｎ+1より、2^{n+2}＝(n+1)^3$･････････①

①式より、２は素数だから、$n+1＝2^k、ｋ≧3（ｎ≧4の自然数より）$とおけます。
従って、①式は、$2^{2^k+1}＝2^{3k}$　ですから、$2^k+1＝3k$････････②
②は、$k=3$で成り立ちます。$y=２^x+１、と　y=3x$を$x>3$で比較すると
$２^x＋１＞3x$　よって、②が成り立つのは、$k=3$のみです。
従って、$n＝2^3－１＝7$　となります。

【問題4】

$n$を2以上の自然数とします。$n$が素数でなく、かつ４でもないとき、
$(n－1)！は、n$で割り切れることを示してください。（東工大）

【解答4】

$n$が素数でなく、かつ４でもないとき、
$n＝k･l、かつ　k、l≧2$となる$自然数k,l$が存在します。ただし、$(k,l)≠(2,2)$
ここで、

1)$k≠l$の場合、$k,l<kl$ですから、$１,2,･･････････,n－1＝kl-1$の中に、$k,l$
が含まれますから、$(n-1)!は、n$で割り切れます。

2)$k=l$の場合、$k≧3$ですから、$2k<k^2$となります。従って、$1,2,･･･････,k^2－1$
のなかに、$kと2k$が含まれますから、$(n-1)!は、n$で割り切れます。

以上より、問題は証明されました。(Q.E.D.)