数学的帰納法－解答編－

数学的帰納法

自然数nや整数に関する式や不等式などを証明するのによく使われる方法です。ポイントは、n=kが(あるいは、1≦n≦ｋ）成り立つときに、n=k+1でも成り立つことを言うことです。ここはある程度予測できる場合は、見通しが立つ場合が多いですが、難し目のものは、こうはいかないものもあります。以前、全ての人はハゲであることを、数学的帰納法で証明してみましたが、あれは論理破綻しています。講義と問題は、リンクに有ります。数学的帰納法-犯人がわかっている推理-

数学的帰納法の問題

【問題１】
数列a_nがあって、a1＝1、a2=２とします。また、連続する3項 an、ａn+1、an+2 は、nが奇数のときに等比数列をなし、nが偶数のとき、等差数列をなすものとします。
(1)　a2m-1,a2m   (m=1,2,3,･･････)を求めてください。
(2)　a1からanまでの総和を求めてください。（一橋大）

【解答１】
(1)定義に従って、ａnを推定すると、ａ2m-1＝\(ｍ^2\)、ａ2m＝m(m+1)（ｍ≧1）･･････①
と推定できます。これを数学的帰納法で証明します。
(ⅰ) n=1　のときは、①は成り立ちます。
(ⅱ) n=k(≧1)のとき、①が成り立つと仮定します。{ａ2k-1、ａ2k、ａ2k+1｝は等比数列、｛ａ2k、ａ2k+1、ａ2k+2｝は等差数列です。従って、
\((ａ2k)^2\)=ａ2k-1･ａ2k+1　また、２ａ2k+1=ａ2k+ａ2k+2　が成り立ちます。よって、\(ａ2k+1＝(ａ2k)^2/a2k-1={k(k+1)}^2/ｋ^2＝(k+1)^2\)
また、ａ2k+2＝2ａ2k+1－ａ2k＝(k+1)(k+2)　となり、①はｎ＝k+1でも成り立ちます。従って、数学的帰納法により①は成り立ちます。
(2)n=2lのときは、\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k=\displaystyle \sum_{ m = 1 }^{ l } a_2m-1+\displaystyle \sum_{ m = 1 }^{ l } a_2m=1/24･n(n+2)(2n+5)\)
n=2l-1のときは、\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k－ａn+1＝
1/24・(n+1)(n+3)(2n+1)\)　となります。

【問題２】
各項が正である数列ａnが、任意の自然数ｎに対して、
\((a1+a2+a3+･････+an)^2\)＝\(a1^3+a2^3+･････+an^3\) を満たしているとします。このときanの一般項を求めてください。（標準問題）
【解答２】
ａ1、a2の計算により、ａn＝ｎ･････①と推定できます。これを、数学的帰納法で証明します。
(ⅰ)n=1のとき、①は成り立ちます。
(ⅱ)n≦k(k≧1)で成り立つと仮定すると、ａk＝k　となります。
\((1+2+3+･･･････+ａk+1）^2＝1^3+2^3+･･･････+k^3+ａk+1^3\)　これより、\({k(k+1)/2}^2+k(k+1)ａk+1+ａk+1^2={k(k+1)/2}^2+ａk+1^3\)となりますから、ａk+1＞0を考慮して、\(ａk+1^2－ａk+1－k(k+1)＝0\)　従って、\(（ａk+1+k)(ａk+1－(k+1)）＝0\)　です。ａk+1＞0ですから、\(ａk+1＝ｋ+1\)となります。よって、数学的帰納法より①は成り立ちます。（Q.E.D.)

【問題3】
ｎを自然数とし、P(x)をn次の多項式とします。P(0),P(1),P(2),･･････,P(n) が整数ならば、すべての整数kに対して、P(k)は整数である事を証明してください。
（東工大）
【解答3】
以前にも難問としてこの問題をあげておきましたが、解答をここに書いておきます。
類似問題が、他大学にも出題されています。次数を下げたものもありました。

数学的帰納法で証明します。
(ⅰ)n＝１のとき、P(x)＝ax+b　とおけば、P(0)＝ｂ＝整数、P(1)＝a+b=整数となり、P(k)はすべての整数ｋに対して、整数となりますから、n=1でなりたちます。
(ⅱ)ｎ≦m　のとき成り立つと仮定すると、「m次の多項式P(x)が、P(0)、P(1)、･････P(m)が整数ならば、すべての整数ｋについて、P(k)が整数である、と仮定します。」･･･････(*)このとき、m+1次の多項式についても(*)が成り立つことを証明すればよいことになります。(m+1)次の多項式は、P(x)＝ax(x-1)(x-2)････(x-m)+Q(x) とかくことができます。(a≠0)　このとき、P(0)、P(1)、･･････、P(m)、P(m+1)が整数だと仮定すると、P(0)＝Q(0)=0、P(1)=Q(1),P(m)=Q(m)ですから、仮定により、すべての整数ｋに対して、Q(k)＝整数です。このとき,P(m+1)＝(m+1)!＋Q(m+1)　は整数ですから、a＝b/(m+1)！（ｂは整数）とかけます。P(k)＝b/(m+1)！･{k(k-1)･････(k-m)}+Q(k)　となります。ここで、連続する（ｍ+1)個の整数は、(m+1)！で割り切れるので、P(K)は整数となり、n=m+1でも(*)は成り立ちます。
従って、数学的帰納法により、題意は成り立ちます。

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