数学の証明法－数学的命題を証明する方法とは－

数学的な命題の証明

ある数学的な命題は、真なのか偽なのかいずれかです。（どちらとも言えない命題が存在するのも事実ではありますが、ここでは、真偽が判定できるものを扱います。命題P⇒Qの証明法には、大きく分けると、直接証明法と間接証明法に分けることができます。

証明法のテクニック

直接法は、ダイレクトに論理展開をして、P⇒Qである事を証明するもので、いわゆる演繹法等もこの範疇にはいります。間接法は、P⇒Qの代わりに、その対偶が正しいことを証明する方法や、結果の否定を仮定して、矛盾を導く背理法などがあります。また、P⇒Qが偽である事を証明するには、反例を１つあげれば十分です。それで、P⇒Qが偽であることは明確です。このほか、数列などでは、n=1が正しいことを言い、n=kが正しければ、n=k+1でも正しい事を言う数学的帰納法(Mathmatical induction) もよく使われます。証明法の演習をやってみましょう。

証明の問題

【問題１】

ｎを自然数、ｒを正の有理数とします。このとき  \(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{1}{xk}\) =r を満たす自然数の組　(x1,x2,x3,･･････,xn) の個数は有限であることを示してください。(東工大)

【問題２】

π/4<\(\int_0^1 \sqrt{1-x^4} dx\)<\(\sqrt{2}/4･π\)　を証明してください。

【問題３】

多項式列、P0(x)=0,P1(x)=1,P2(x)=1+x,･･･････,Pn(x)=\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x^k\) ･･･････　を考えます。

（１）正の整数n,mに対して、Pn(x)をPm(x)で割った余りはP0(x),P1(x),･････,Pm-1(x)のいずれかであることを証明してください。

（２）等式　P1(x)･Pm(\(x^2\))･Pm(\(x^4\))=P100(x)が成立する(l,m,n)をすべて求めてください。　　　(東大）

【問題４】

次の数字のうち、すべては素数で無いことを証明してください。素数と合成数が含まれているということです。

３１

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