数列をマスターしよう－解答編－

数列のいろいろなバリエーション

数列に関する基礎事項をきちんと整理し、マスターした上で、応用問題や難しいと思われる問題に取り組んでいきましょう。数列は定積分を考えるときの基礎になりますし、色々な分野との融合問題が作れます。しっかりマスターしていきましょう。解説と問題は以下のリンクにあります。数列をマスターしよう

数列をマスターしよう、の解答

【問題１】

\(ａ、ｍ\)は自然数で、ａは定数とします。\(xy\)平面上の点\((ａ、ｍ）\)を頂点とし、頂点と\(（2a、0）\)を通る放物線を考えます。この放物線とｘ軸で囲まれる面積を\(Ｓ_m\)、この領域にある格子点及び境界に含まれる格子点の数を、
\(L_m\)とします。

このとき、\(\displaystyle \lim_{ ｍ \to \infty } L_m/S_m\) を求めてください。（京都大）

【解答１】

原点と点(2a、0)をとおる直線は、
\(ｙ＝ｔx(ｘ－２ａ)\)　となり、\(ｙ＝ｔ(ｘ-ａ)^2＋ｍ\)ですから、\(0＝ｔａ^2+ｍ\)　となりますから、\(ｔ＝－ｍ^2/ａ＜0\)

よって、\(Ｓ_m＝\displaystyle \int_{0}^{2a }{－ｍ^2/a(x-a)} dx
＝４ｍａ/3\)････････①

また、格子点は、[x] をガウス記号とすると、
\(L_m＝\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ 2n }( [－m^2/a(k^2－2aｋ)]+1)\)　です。

\(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ 2n }( －m^2/a(k^2－2aｋ)＝－1/3･ａ(4ａ^2－1）\)　で、
ガウス記号の定義から、
\(－m^2/a(k^2－2aｋ)＜ [－m^2/a(k^2－2aｋ)]+1≦－m^2/a(k^2－2aｋ)+１\)となりますから、

\(3m/a(ａ^2－１）＜Ｌ_m≦3m/a(ａ^2－１）+２ａ+１\)･････②

①、②より、

\((4ａ^2－1)/4ａ^2＜L_m/S_m≦(4ａ^2－1)/4ａ^2+3/4･(２ａ+1)/am\)
から、ｍ→∞とすると、挟み撃ちの原理から、

\(\displaystyle \lim_{ ｍ \to \infty } L_m/S_m ＝(４ａ^2－1)/4ａ^2\)

【問題２】

正ｎ角形\(Ｐ_n\)を次のように定めます。
(1)\(p_3\)は面積１の正三角形です。
(2)\(p_N\)と同じ面積をもつ円を\(D_n\)とします。

\(ｎ＝3,4,5･･････\)について、\(P_nの面積をａ_n\)とすると、

(1)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(ａ_{n-1}/ａ_n) \)を求めてくだい。
(2)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n^2((a_{n-1}/a_n)－ｎ/π･sin(π/n))\)
を求めてください。（東北大）

【解答２】

(1)\(D_nの半径を、ｒ_n\)とします。条件から、
\(r_n＝\sqrt{ａ_n/π}\)
\(D_nの周の長さは、2π･r_n＝2\sqrt{πａ_n}\)　です。

また、正ｎ角形の外接円の半径を\(R_n\)とすると、(2)より、
\((n+1)2･R_{n+1}･sin(π/(n+1)＝２･\sqrt{πａ_n}\)となります。

よって、\(R_n＝\sqrt{πａ_n}/((ｎ+1)sinπ/(n+1))\)
\(P_nはｎ個の２等辺三角形で、、ａ_n＝ｎ･πａ_{n-1}/(ｎsinπ/n)^2･
sinπ/n･cosπ/ｎ\)となります。

これより、\(ａ{n-1}/ａ_n＝π/ｎ・tanπ/n\)

(2)\(θ＝π/ｎ\)とおくと、
\(n^2((a_{n-1}/a_n)－ｎ/π･sin(π/n))＝(θ/π)^2(1/θ･tanθ－1/θ･sinθ)\)

ここで、\(ｎ→∞なら、θ→+0\)ですから、

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n^2((a_{n-1}/a_n)－ｎ/π･sin(π/n))\)＝\(\displaystyle \lim_{ θ \to +0 }((θ/π)^2(1/θ･tanθ－1/θ･sinθ)\)
＝\(\displaystyle \lim_{ θ \to +0 }(2π^2/cosθ･sinθ/θ(1－cosθ)･1/4\)
＝\(\displaystyle \lim_{ θ \to +0 }(２π^2/cosθ･sinθ/θ･sin^2(θ/2)/(θ/2)^2\)
＝\(π^2/2\)

【問題3】

\(ａは、0<a＜π\)を満たす定数とします。
\(n=0,1,2、････････\)に対し、\(ｎπ＜ｘ＜(ｎ+1)\)の範囲に、
\(sin(ｘ+α)＝ｘsinｘ\)を満たすｘがただ１つ存在し、これを\(x_n\)とします。

(1)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(ｘ_n－ｎπ）\)を求めてください。
(2)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }ｎ(ｘ_n－ｎπ)\)を求めてください。（京都大）

【解答３】

(1)条件より、\(sin(ｘ_n＋ａ)＝ｘ_nsinｘ_n\)
\(ｎπ＜ｘ_n＜(n+1)π\)･･････①
よって、\(sinx_n＝1/ｘ_n･sin(ｘ_n+ａ)\)･･････②

①から、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }sinｘ_n＝0\)･････③
また、①から　0＜x_n－ｎπ＜π　これと　③より
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(x_n－ｎπ)＝０またはπ\)

さらに、\(x_n－ｎπ\)がπに十分小さいときは、
\(x_n≒(ｎ+1)π　（0＜ａ＜π)\)　から、
\((n+1)π＜ｘ_n+ａ＜(n+2)π\)で、\(sinｘ_nとsin(x_n+ａ)\)は異符号とな
り、②が成り立ちません。

従って、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(x_n－ｎπ)＝０\)です。

(2)　\(ｎ(ｘ_n－ｎπ)＝(ｘ_n－ｎπ)/sin(x_n－ｎπ)･ｎsin(x_n－ｎπ)\)です。

ここで、\(θ＝x_n－ｎπ\)とおくと、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(x_n－ｎπ)/sin(x_n－ｎπ)\)
＝\(\displaystyle \lim_{ θ \to 0 }　θ/sinθ＝１\)

また、\(sin(x_n－ｎπ)＝±sinｘ_n\)より、②から、
\(ｎsin(x_n－ｎπ)＝ｎ/ｘ_n･sin(x_n－ｎπ+ａ)\)です。

①から、\(π＜x_n/ｎ＜(1+1/ｎ)π\)･････④
④で、ｎ→∞で④の両辺は、πに収束しますから、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }ｎ/x_n･sin(x_n－ｎπ+ａ)\)
=\(1/π・sina\)

従って、求める極限値は、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }ｎ(ｘ_n－ｎπ)＝1/π・sina\)
となります。