数列をマスターしよう－融合問題が多いですね－

数列の基本事項

・等差数列：\(ａ_n＝ａ+(n-1)ｄ、S_n=(２ａ+(ｎ-1）d))/2\)
・等比数列：\(ａ_n＝ａ･ｒ^{n-1}、ｒ≠1なら、S_n＝ａ(１－ｒ^{n})/（１-r)\)
・部分分数の形：\(ａ_n＝1/(ｎ(n+1)\)など
・階差数列：\(ａ_n＝ａ＋\displaystyle \sum_{ｋ= 1 }^{ n-1 } b_n\)
\((n≧2)\)
・部分和\(Ｓ_n\)で表される数列：\(ｎ≧2、ａ_n＝S_ｎ－S_{n-1}\)
・漸化式（２項間、３項間）

 

数列に関する精選問題

【問題１】

\(ａ、ｍ\)は自然数で、ａは定数とします。\(xy\)平面上の点\((ａ、ｍ）\)を頂点とし、頂点と\(（2a、0）\)を通る放物線を考えます。この放物線とｘ軸で囲まれる面積を\(Ｓ_m\)、この領域にある格子点及び境界に含まれる格子点の数を、
\(L_m\)とします。

このとき、\(\displaystyle \lim_{ ｍ \to \infty } L_m/S_m\) を求めてください。（京都大）

【問題２】

正ｎ角形\(Ｐ_n\)を次のように定めます。
(1)\(p_3\)は面積１の正三角形です。
(2)\(p_n\)と同じ面積をもつ円を\(d_n\)とします。

\(ｎ＝3,4,5･･････\)について、\(P_nの面積をａ_n\)とすると、

(1)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(ａ_{n-1}/ａ_n) \)を求めてくだい。
(2)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n^2((a_{n-1}/a_n)－ｎ/π･sin(π/n))\)
を求めてください。（東北大）

【問題3】

\(ａは、0<a＜π\)を満たす定数とします。
\(n=0,1,2、････････\)に対し、\(ｎπ＜ｘ＜(ｎ+1)\)の範囲に、
\(sin(ｘ+α)＝ｘsinｘ\)を満たすｘがただ１つ存在し、これを\(x_n\)とします。

(1)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(ｘ_n－ｎπ）\)を求めてください。
(2)\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }ｎ^2(ｘ_n－ｎπ)\)を求めてください。（京都大）