数列　－規則性を見抜くー

数列の基礎事項

数列の一番簡単なものは、自然数の数列ですね。$１，２，３，４，５、････、ｎ、･･･････$　で、一般項を$ａ_n$であらわすと、$a_n＝ｎ$　となります。また第ｎ項までの和を部分和といい、$Ｓ_n$　と書きます。$Ｓ_n＝(n(n+1))/2$は、容易に理解できると思います。次には、等差数列、等比数列が基本的です。等差数列は、公差ｄを次々に足してもので、一般項は、初項をaとすると、$ａn＝a+(n-1)･d$　となります。等比数列は、初項a、公比ｒとすれば、$an＝a･ｒ^{n-1}$　となります。これらの部分和を求める事も基本的です。

数列の応用

数列は、一般項と求めたり、部分和Ｓnを求めたりする事が基本事項ですが、すぐには一般項anが求まらないことがあります。このようなときには、隣接する項の差（階差）を求めたりして一般項を求めます。時に一般項が分数式になっている時がありますが、このような時には、部分分数に分解すると、部分和が簡単に求待ったりします。また数列の和は、積分を考える時（特に定積分）の基本にもなっています。

漸化式　－やや苦手にしている人が多いようです－

漸化式は、隣接間の数列の関係式を示したものです。主なものには、2項間の漸化式、3項間の漸化式がありますが、解法は公式化していますので、解法を理解すれば、割合楽に一般項ａnが求まります。

数列、級数の極限値を求める問題

数列の問題では、一般項ａnのｎ→∞の時の極限値や、級数（すなわち部分和$Ｓ_n$の$ｎ→∞$の極限値）を求める事が良くあります。

級数は、$ａ1+a2+a3+･････････+an+････････$　の無限級数和を求める事が良くあります。基本はＳnの極限値ですが、級数が収束するには、$an→0（ｎ→∞)$が必要条件ですが、逆は必ずしも成り立たないので、注意が必要です。

実際の問題例で考えて見ましょう

【問題１】

$a1＝0、a2=1、ａn+1＝ａn+ａn-1$　が成り立つ時の一般項ａnを求めてくだ

さい。（この数列をフィボナッチの数列といいます。黄金分割比がでます）

【問題2】

ｎは自然数とします。$ｘ^{n+1}$を　$ｘ^2-ｘ-１$で割った余りを、$an･ｘ+bn$と

します。

（１）$ａn+1＝ａn+bn、bn+1＝an$　である事を示してください。

（２）自然数$ｎ$に対して、$an、bn$はともに自然数であり、互いに素である

事を証明してください。