数Ⅲ演習－解答編－

数Ⅲの演習

理系の入試問題によく出題される数Ⅲの問題演習をやってみましょう。理系での２次試験で出題される割合は４割程度の大学がよくあります。理系志望の方は、数ⅠA、数ⅡBはもちろんのこと、数Ⅲも着実に学習していきましょう。問題は次のリンクです。数Ⅲ演習

数Ⅲの問題

【問題1】

周の長さが\(l\)(一定）である正\(n\)角形の面積を、\(S_n\)とします。
(1)　\(S_n\)は増加関数であることを示してください。
(2)　数列\(S_n\)は、周の長さが\(l\)である円の面積　\(S\)に収束することを示してください。
（東京医科歯科大）

【解答1】

(1)　\(S_n=n･l/2π･l/2π･cotπ/ｎ＝k^2/4π･(π/n)/tan(π/n)\)
\(tanx/x\)は、\(0<x<π/2\)　で増加しますから、（微分してもグラフから考えてもいいです。）
\(S_n\)は増加します。
(2)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } S_n＝k^2/4π･\displaystyle \lim_{x \to 0 } x/tanx\)
＝\(π(l/2π)^2\)
となりますから、\(S_n\)は、半径\(l/2π\)の円、すなわち周の長さが　\(l\)の円の面積\(S\)に収束します。

【問題2】

(1)　関数\(f(x)＝logｘ/x\)の増減を調べ、極値を求めてください。対数は自然対数です。
(2)　\(e<α<β\)を\(α,β\)が満たすとき
不等式　\(α/β<logα/logβ<β/α\)が成り立つことを証明してください。
（順天堂大・医）

【解答2】

(1)　微分して増減を調べてください。\(x=e\)で極大値\(1/e\)をとります。
(2)　(1)の結果より、\(e<α<β\)のとき、
\(logβ/β<logα/α\)　が成り立ちますから、\(α/β<logα/logβ\)
また、\(0<1/β<1/α<<1/e<e\)ですから、
\(log(1/β)/(1/β)<log(1/α)/(1/α)\)より、\(－βlogβ<-αlogα\)から、
\(logα/logβ<β/α\)　となります。よって与えられた不等式は成り立ちます。

【問題3】

(1)　\(y^2＝x^４(x+1)\)の概形を書いてください。（増減、極値、凹凸）
(2)　不等式　\(y^2≦x^４(x+1)\),\(x≦0\)をともに満たす部分の面積を求めてください。
（東北大）

【解答3】

(1)　定義域は、\(x≧－1\)　この範囲で、与えられた式は、\(y＝±x^2\sqrt{x+1}\)
この２つの曲線は、互いにx軸に関して対称ですから、\(y＝x^2\sqrt{x+1}\)
を考えます。\(y’＝(5x+4)x/(2\sqrt{x+1})\)
\(y”＝(5x^2+24x+8)/(4(x+1)^{3/2})\)　となりますから、増減、凹凸を考えて
グラフを書きます。\(x＝(-12+2\sqrt{６})/15\)で変曲点になります。
(2)　グラフから、求める面積は、
\(S=２\displaystyle \int_{ -1}^{1 } x^2\sqrt{x+1} dx\)ですから、
\(\sqrt{x+1}＝t\)とおけば、\(Ｓ＝\displaystyle \int_{ -1}^{1 } (t^2－1)･t･2tdt＝32/105\)

【問題4】

(1)　\(\displaystyle \int_{ -a}^{a} f(x) dx=\displaystyle \int_{0}^{a} (f(x)+f(-x)) dx\)
が成り立つことを証明してください。
(2)　\(\displaystyle \int_{ -π/4}^{π/4} sin^2x/(1+e^{-x}) dx\)　を求めてください。
（慶応大・医）

【解答4】

(1)　\(x=－t\)とおけば、\(\displaystyle \int_{-a}^{0}f(x)dx＝ \displaystyle \int_{0}^{a}f(t)dt\)だから、
与式は成り立ちます。
(2)　(1)の結果をもちいます。
\(\displaystyle \int_{ -π/4}^{π/4} sin^2x/(1+e^{-x}) dx\)
＝\(\displaystyle \int_{0}^{π/4} sin^2x･(1/(1+e^{-x})+1/(1+e^x))dx\)
＝\(\displaystyle \int_{0}^{π/4} sin^2xdx\)
＝\(π/8－1/4\)

【問題5】

\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{∞} 1/k^2\)は収束することが分かっています。（\(ζ\)関数の\(s=2\)の場合です。）
(1)　これを用いて、\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} 1/(k^2(k+1))\)が収束することを示してください。
(2)　\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{∞} 1/k^2\)　および　\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} 1/(k^2(k+1))\)
の値（収束値）をそれぞれ　\(S,T\)とするとき、\(S\)と\(T\)の間に成り立つ関係式を求めてください。
（入試問題です）

【解答5】

(1)　示されている無限級数は、有名な問題でバーゼル問題と言いますが、これを証明するのはかなり難しいです。これが収束することを前提にしたこの問題は、格段に易しくなります。

\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{ｎ} 1/(k^2(k+1))\)
=\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{n} 1/k^2－\displaystyle \sum_{k= 1 }^{n} (1/k－1/(k+1))\)
＝\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{n} 1/k^2－1+1/(n+1)\)
\(n→∞\)のとき、条件で第1項は収束し、第3項は、0に収束しますから、この級数は収束します。
(2)　また、\(S=T－1\)