数Ⅲ問題演習－解答編－

2019年４月から高校３年生になる皆さんへ

４月から高校３年生になる皆さんは、ほとんどの方が数ⅠAと数ⅡBを学習されたと思います。中高一貫校の学習進度の速い高校生は数Ⅲもほとんど終了されているかもしれません。難関大の理系では、数Ⅲの出題割合が高いのが普通です。１年後に確実に自らの第一志望校に合格できるように、基礎を重視しながら入試によく出題される数Ⅲの問題演習を忘れないようにしましょう。比較的易しめの問題です。

数Ⅲの問題演習

【問題1】

次の　\(x\)の方程式の異なる実数解の個数を求めてください。\(logx＝ax^2\)

【解答１】

原式は、\(x>0\)　より、\(logx/x^2＝a\)　････････①
\(f(x)＝logx/x^2\)　とおくと、\(f'(x)＝（1－2logx)/x^2\)　となります。
増減表と、\(\displaystyle \lim_{ ｘ \to \infty } f(x) = 0\)　および　、\(\displaystyle \lim_{ ｘ \to -\infty } f(x) = －∞\)　より

\(a≦0　a＝1/2e\)　のとき　1個
\(0<a<1/2e\)　のとき　2個
\(a>1/2e\)　のとき　0個

 

【問題2】

任意の実数　\(x＞0\)　に対して　\(logx＜a\sqrt{x}\)　が成り立つような　\(a\)　の範囲を求めてください。

【解答2】

\(x>0\)　より、与えられた不等式は　\(a＞logx/\sqrt{x}\)　です。
\(f(x)＝logx/\sqrt{x}\)　とおけば、\(f'(x)＝(2-logx)/(2x\sqrt{x}\)　ですから
\(x>0\)　での　\(f'(x)\)　の増減表から、\(x=e^2\)　のとき　\(f(x)\)　は極大かつ最大となります。
\(f(e^2)＝2/e\)　よって　\(a>2/e\)

【問題3】

（１）\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (\sqrt{x^2－2ｘ+2}－(ax+b))＝0\)　となるような　\(a,b\)　を求めてください。
（２）(1)の\(a,b\)　のとき　極限値　\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty } x(\sqrt{x^2－2ｘ+2}－(ax+b))\)　を求めてください。

【解答3】

（１）\(a≦0\)　なら極限値は　\(+∞\)　となり不適。よって　\(a>0\)
有理化して
\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (\sqrt{x^2－2ｘ+2}－(ax+b))\)
＝\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty }((1-a^2)x^2-2(1+ab)+(2-b^2)/x)/(\sqrt{1-1/x+2/x^2+(a+b/x}\)
よって、\(1-a^2＝0、1+ab＝0\)　　\(a>0\)　から　\(a=1、ｂ＝-1\)

(2)　（１）より
\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty } x(\sqrt{x^2－2ｘ+2}－(ax+b))＝1/2\)

【問題4】

次の定積分の値を求めてください。
\(\displaystyle \int_{π/3}^{π/2}cos^3x/(1+sinx) dx\)

【解答4】

\(\displaystyle \int_{π/3}^{π/2}cos^3x/(1+sinx) dx\)
＝\(\displaystyle \int_{π/3}^{π/2}(cos^3x(1-sinx)）/(1-sin^2x) dx\)
＝\(\displaystyle \int_{π/3}^{π/2}(1-sinx)cosx dx\)
＝\(（7-4\sqrt{3})/8\)