数Ⅱの問題演習－解答編－

数Ⅱの範囲について

数Ⅱは、数Ⅰの基礎を基にして、さらに数学を深めるところです。そして数Ⅲでさらに理解を深める足元を固めるところだとも言えます。数Ⅱでは扱う関数も、三角関数、分数関数、無理関数、指数関数、対数関数と増えてきます。また、自然科学の基礎となる微分・積分法が導入されます。数Bでは、数列やベクトルも学びます。学ぶ範囲が広いところですから、基礎をしっかり学び、数ⅠA,数ⅡB,数Ⅲの高校数学全体をマスターしていただきたいと思っています。
数ⅡBは、文系理系ともに学ぶ必要がありますから、（特に国立大学の場合）頑張っていきましょう。学年はじめですので、取り組みやすい問題からやってみましょう。

数Ⅱの問題

【問題1】

$a$ を定数とし、$f(x)＝x^3－3ax^2+a$　とします。$x≦2$　の範囲で　$f(x)$　の最大値が　$105$　になるような　$a$　を求めてください。
（一橋大）

【解答1】

定石どおりグラフの増減を調べましょう。

$f'(x)＝3x((x-2a)$

1)　$a>0$　のとき
$x≦2$　における最大値は、$f(0)＝a$　または　$f(2)＝-11a+8＜8$
よって、最大値が　$105$　になるのは、　$a=105$

2）　$a=0$　のとき
$f(x)＝x^3$　で　$x≦2$　で　最大値は　$8$　で不適

3）　$a<0$　のとき
$x≧2$　における最大値は、$f(2a)＝-4a^3+a$　または　$f(2)＝-11a+8$　のどちらかです。

したがって、場合分けをして
ⅰ）$-2≦a＜0$　のとき　$f(2)≧f(2a)$　より　$f(2)＝105$から　$a＝-97/11$　となり不適

ⅱ）$a≦-2$　のとき　$f(2a)＝-4a^3+a＝105$　から　$(a+3)(4a^2-12a+35)=0$　から
$a＝-3$

よって、(答)　$a＝-3、105$

 

【問題2】

実数　$x,y$　が　$(\log_{ 3} x)^2+(\log_{ 3 } y)^2＝\log_{ 3 } x^2－\log_{ 3} y^2$　を満たすとき
$\log_{ 3} x、xy、x/y$　のとりうる範囲をそれぞれ求めてください。
（青山学院大）

【解答2】

底の条件から　$y>0、y≠1$
真数条件から　$x<2$

このもとに、与えられた式を変形すると、
$\log_{ 3 } y＜\log_{3(1-x/2)}$
よって
$y>1$　のときは
$y<-3/2･ｘ+3　(y>1)$
$0<y<1$のときは
$y>-3/2x+3$

これらをまとめればよいことになります。

【問題3】

$y=４sinθcosθ+2(sinθ+cosθ）+1$　とします。
$0≦θ≦π$　における　$y$　の最大値と最小値を求めてください。
（奈良女子大）

【解答3】

$t=sinθ+cosθ$　とおくと、$sinθcosθ＝(t^2－1)/2$
また　$t=\sqrt{2}sin(θ+π/4)$　で　$0≦θ≦π$　から
$-1≦ｔ≧\sqrt{2}$･･････①

$y=2t^2+2t-1$　だから、①における最大、最小を求めればよいことになります。
$y=2(x+1/2)^2-3/2$　ですから、
最小値　$3+2\sqrt{2}$　最大値　$-3/2$

【問題4】

公比が正である等比数列　$a_n$　において、$a_2=2、a_4=8$　であるとします。
また、数列　$b_n$　は、初項から　第　$n$　項までの和　$S_n$が　$S_n＝n^2+ｎ+1$　となるような数列とします。
（１）数列　$a_n$　の公比を求めてください。
（２）数列　$b_n$　の一般項を求めてください。
（３）$b_3<ｘ≦b_{n+3}$　を満たす整数　$x$　の個数を　$c_n$　とします。
$c_1a_1+c_2a_2+････････+c_na_n$　を　$n$　の式で表してください。
（進研）

【解答4】

(1)、(2)　は答えのみを示します。

(1)　$公比：2$
(2)　$b_1＝3$　$b_n＝2n　(n≧2)$

(3)　(2)より　$b_3＝6$　$b_{n+3}＝2(n+3)＝2n+6$
よって　$b_3≦x≦b_{n+3}$　すなわち　$6≦x≦2n+6$　を満たす　$x$　の個数　$c_n$　は
$c_n＝2n$
また　(1)　より、$a_n＝２^{n-1}$
よって
$c_ka_k＝k･２^k$

$S=\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } k･２^k$　とおくと
$２S－S=(n-1)･２^{n+1}+2$　から

$S=(n-1)･２^{n+1}+2$