数Ⅱの問題演習-解答編-

数Ⅱの範囲について

数Ⅱは、数Ⅰの基礎を基にして、さらに数学を深めるところです。そして数Ⅲでさらに理解を深める足元を固めるところだとも言えます。数Ⅱでは扱う関数も、三角関数、分数関数、無理関数、指数関数、対数関数と増えてきます。また、自然科学の基礎となる微分・積分法が導入されます。数Bでは、数列やベクトルも学びます。学ぶ範囲が広いところですから、基礎をしっかり学び、数ⅠA,数ⅡB,数Ⅲの高校数学全体をマスターしていただきたいと思っています。
数ⅡBは、文系理系ともに学ぶ必要がありますから、(特に国立大学の場合)頑張っていきましょう。学年はじめですので、取り組みやすい問題からやってみましょう。

数Ⅱの問題

【問題1】

a を定数とし、f(x)=x^3-3ax^2+a とします。x≦2 の範囲で f(x) の最大値が 105 になるような a を求めてください。
(一橋大)

【解答1】

定石どおりグラフの増減を調べましょう。

f'(x)=3x((x-2a)

1) a>0 のとき
x≦2 における最大値は、f(0)=a または f(2)=-11a+8<8
よって、最大値が 105 になるのは、 a=105

2) a=0 のとき
f(x)=x^3 で x≦2 で 最大値は 8 で不適

3) a<0 のとき
x≧2 における最大値は、f(2a)=-4a^3+a または f(2)=-11a+8 のどちらかです。

したがって、場合分けをして
ⅰ)-2≦a<0 のとき f(2)≧f(2a) より f(2)=105から a=-97/11 となり不適

ⅱ)a≦-2 のとき f(2a)=-4a^3+a=105 から (a+3)(4a^2-12a+35)=0 から
a=-3

よって、(答) a=-3、105

 

【問題2】

実数 x,y が (\log_{ 3} x)^2+(\log_{ 3 } y)^2=\log_{ 3 } x^2-\log_{ 3} y^2 を満たすとき
\log_{ 3} x、xy、x/y のとりうる範囲をそれぞれ求めてください。
(青山学院大)

【解答2】

底の条件から y>0、y≠1
真数条件から x<2

このもとに、与えられた式を変形すると、
\log_{ 3 } y<\log_{3(1-x/2)}
よって
y>1 のときは
y<-3/2・x+3 (y>1)
0<y<1のときは
y>-3/2x+3

これらをまとめればよいことになります。

【問題3】

y=4sinθcosθ+2(sinθ+cosθ)+1 とします。
0≦θ≦π における y の最大値と最小値を求めてください。
(奈良女子大)

【解答3】

t=sinθ+cosθ とおくと、sinθcosθ=(t^2-1)/2
また t=\sqrt{2}sin(θ+π/4) で 0≦θ≦π から
-1≦t≧\sqrt{2}・・・・・・①

y=2t^2+2t-1 だから、①における最大、最小を求めればよいことになります。
y=2(x+1/2)^2-3/2 ですから、
最小値 3+2\sqrt{2} 最大値 -3/2

【問題4】

公比が正である等比数列 a_n において、a_2=2、a_4=8 であるとします。
また、数列 b_n は、初項から 第 n 項までの和 S_nが S_n=n^2+n+1 となるような数列とします。
(1)数列 a_n の公比を求めてください。
(2)数列 b_n の一般項を求めてください。
(3)b_3<x≦b_{n+3} を満たす整数 x の個数を c_n とします。
c_1a_1+c_2a_2+・・・・・・・・+c_na_n を n の式で表してください。
(進研)

【解答4】

(1)、(2) は答えのみを示します。

(1) 公比:2
(2) b_1=3 b_n=2n (n≧2)

(3) (2)より b_3=6 b_{n+3}=2(n+3)=2n+6
よって b_3≦x≦b_{n+3} すなわち 6≦x≦2n+6 を満たす x の個数 c_n は
c_n=2n
また (1) より、a_n=2^{n-1}
よって
c_ka_k=k・2^k

S=\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } k・2^k とおくと
2S-S=(n-1)・2^{n+1}+2 から

S=(n-1)・2^{n+1}+2

 

 

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