数Ⅱの問題演習－解答編－

数Ⅱの範囲について

数Ⅱは、数Ⅰの基礎を基にして、さらに数学を深めるところです。そして数Ⅲでさらに理解を深める足元を固めるところだとも言えます。数Ⅱでは扱う関数も、三角関数、分数関数、無理関数、指数関数、対数関数と増えてきます。また、自然科学の基礎となる微分・積分法が導入されます。数Bでは、数列やベクトルも学びます。学ぶ範囲が広いところですから、基礎をしっかり学び、数ⅠA,数ⅡB,数Ⅲの高校数学全体をマスターしていただきたいと思っています。
数ⅡBは、文系理系ともに学ぶ必要がありますから、（特に国立大学の場合）頑張っていきましょう。学年はじめですので、取り組みやすい問題からやってみましょう。

数Ⅱの問題

【問題1】

\(a\) を定数とし、\(f(x)＝x^3－3ax^2+a\)　とします。\(x≦2\)　の範囲で　\(f(x)\)　の最大値が　\(105\)　になるような　\(a\)　を求めてください。
（一橋大）

【解答1】

定石どおりグラフの増減を調べましょう。

\(f'(x)＝3x((x-2a)\)

1)　\(a>0\)　のとき
\(x≦2\)　における最大値は、\(f(0)＝a\)　または　\(f(2)＝-11a+8＜8\)
よって、最大値が　\(105\)　になるのは、　\(a=105\)

2）　\(a=0\)　のとき
\(f(x)＝x^3\)　で　\(x≦2\)　で　最大値は　\(8\)　で不適

3）　\(a<0\)　のとき
\(x≧2\)　における最大値は、\(f(2a)＝-4a^3+a\)　または　\(f(2)＝-11a+8\)　のどちらかです。

したがって、場合分けをして
ⅰ）\(-2≦a＜0\)　のとき　\(f(2)≧f(2a)\)　より　\(f(2)＝105\)から　\(a＝-97/11\)　となり不適

ⅱ）\(a≦-2\)　のとき　\(f(2a)＝-4a^3+a＝105\)　から　\((a+3)(4a^2-12a+35)=0\)　から
\(a＝-3\)

よって、(答)　\(a＝-3、105\)

 

【問題2】

実数　\(x,y\)　が　\((\log_{ 3} x)^2+(\log_{ 3 } y)^2＝\log_{ 3 } x^2－\log_{ 3} y^2\)　を満たすとき
\(\log_{ 3} x、xy、x/y\)　のとりうる範囲をそれぞれ求めてください。
（青山学院大）

【解答2】

底の条件から　\(y>0、y≠1\)
真数条件から　\(x<2\)

このもとに、与えられた式を変形すると、
\(\log_{ 3 } y＜\log_{3(1-x/2)}\)
よって
\(y>1\)　のときは
\(y<-3/2･ｘ+3　(y>1)\)
\(0<y<1\)のときは
\(y>-3/2x+3\)

これらをまとめればよいことになります。

【問題3】

\(y=４sinθcosθ+2(sinθ+cosθ）+1\)　とします。
\(0≦θ≦π\)　における　\(y\)　の最大値と最小値を求めてください。
（奈良女子大）

【解答3】

\(t=sinθ+cosθ\)　とおくと、\(sinθcosθ＝(t^2－1)/2\)
また　\(t=\sqrt{2}sin(θ+π/4)\)　で　\(0≦θ≦π\)　から
\(-1≦ｔ≧\sqrt{2}\)･･････①

\(y=2t^2+2t-1\)　だから、①における最大、最小を求めればよいことになります。
\(y=2(x+1/2)^2-3/2\)　ですから、
最小値　\(3+2\sqrt{2}\)　最大値　\(-3/2\)

【問題4】

公比が正である等比数列　\(a_n\)　において、\(a_2=2、a_4=8\)　であるとします。
また、数列　\(b_n\)　は、初項から　第　\(n\)　項までの和　\(S_n\)が　\(S_n＝n^2+ｎ+1\)　となるような数列とします。
（１）数列　\(a_n\)　の公比を求めてください。
（２）数列　\(b_n\)　の一般項を求めてください。
（３）\(b_3<ｘ≦b_{n+3}\)　を満たす整数　\(x\)　の個数を　\(c_n\)　とします。
\(c_1a_1+c_2a_2+････････+c_na_n\)　を　\(n\)　の式で表してください。
（進研）

【解答4】

(1)、(2)　は答えのみを示します。

(1)　\(公比：2\)
(2)　\(b_1＝3\)　\(b_n＝2n　(n≧2)\)

(3)　(2)より　\(b_3＝6\)　\(b_{n+3}＝2(n+3)＝2n+6\)
よって　\(b_3≦x≦b_{n+3}\)　すなわち　\(6≦x≦2n+6\)　を満たす　\(x\)　の個数　\(c_n\)　は
\(c_n＝2n\)
また　(1)　より、\(a_n＝２^{n-1}\)
よって
\(c_ka_k＝k･２^k\)

\(S=\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } k･２^k\)　とおくと
\(２S－S=(n-1)･２^{n+1}+2\)　から

\(S=(n-1)･２^{n+1}+2\)