数Ⅰの問題演習

2019年4月から高校生になる皆さんへ

いよいよ4月から高校生なりますね。中学で数学を学んできましたが高校生からは本格的な数学の勉強をする事になります。もちろん純粋数学に比べると厳密性や曖昧さは残っており、ある面でイメージで判断するところもありますが、奥の深い数学の世界に入ることになります。これらの数学の勉強ができるのは、多くの天才的な数学者のお陰であることも忘れてはなりません。中学の数学より、かなり数式や定義が増えてきますが、きちんと理解してさらなる深い数学の世界に入っていただければと思っています。ここでは、数Ⅰの問題をやってみましょう。

数Ⅰの問題

【問題1】

\(f(x)＝\vert{x^2－x－k}\vert\)　とするとき、\(0≦x≦1\)　における　\(f(x)\)　の最大値を最小にする　\(k\)　の値を求めてください。

【問題2】

\(x\)　についての　2次方程式　\((x-1)(x-3)+k(x-a)=0\)　がどのような実数　\(k\)　に対しても実数解をもつような　\(a\)　の値を求めてください。

【問題3】

\(a,b\)　を　\(a<b\)　となる定数とします。2次の係数がともに正である2次多項式を　\(f(x),g(x)\)　とし、\(f(x)=0、g(x)=0\)　がともに　\(a≦x≦b\)　に2つの実数解をもつとします。このとき、　\(f(x)+g(x)=0\)　が実数解をもてば、その解もやはり　\(a≦x≦b\)　の範囲にあることを示してください。

【問題4】

\(a,b,c\)　を　\(1/2≦c≦b≦a\)　を満たす変数とします。このとき、\(F=abc－ab－2bc－3ca+2a+2b+c\)　の最大値を求めてください。