挟み撃ちの原理－右と左から追い込もう－

数列の問題における極限値の求め方

一般的な解法で、数列ａnの一般項が求めにくいときは、ａnに関する不等式を考慮し、小さい方のものと大きいものとからａｎを挟み込み、ともに同じ値に収束することを用いて、極限値を求めます。具体的に易しめの問題を解説しておきます。

挟み撃ちでの極限値を求める解法

【問題】

\(ａ_n\)が、\(ａ_1＝２\)、\(ａ_{n+1}\)＝\(\sqrt{ａ_n＋3}－１\)（n＝1,2,3、･･････）で定義されるとき、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n\)　を求めてください。　　（神戸大）

これは、極限値があるとすれば、それが推定できます。極限値をαとすると、α＝√（α+3）－１から、α＋１＝√(α＋3）これから、α≧－1を考慮して、α＝１と推定できます。ここまで準備ができたら、解答に移ります。

【解答】

ａ1＝２、ａn+1＝√(ａn+3）－１･･････①　（n＝1、2,3、･･････）

①を変形して、ａn+1－１＝√(ａn+3）－２＝(ａn－１)/{√(ａn+３)＋２｝となりますから、ａn+1－１＝１/{√(ａn+３)＋２｝･（ａn－１）･････②　ここで、②の両辺の絶対値を取ると、

ｌａn+1－１ｌ＝l１/{√(ａn+３)＋２｝l・lａn－１l　となります。ここで、l１/{√(ａn+３)＋２｝l≦１/２　となります。よって、②の不等式は、

ｌａn+1－１ｌ≦１/２・lａn－１l　･･･････③　となります。よって③から、

０≦lａn－１l　≦(1/2）^n-1(ａ1－１）＝(1/2）^n-1･････④　となります。④でｎ→∞とすれば、

０≦lim(n→∞)lａn－１l≦lim(1/2）^n-1）＝０となります。よって挟み撃ちの原理から、lim(n→∞)・ａn＝１となります。

このように、挟み撃ちでは、ｌｒｌ＜１のとき、ｒ^nの等比数列が、n→∞で、０に収束する事をよく使います。

挟み撃ちの原理の問題

【問題１】

（１）\(\displaystyle \sum_{ k= n }^{ 2n }\frac{1}{k}\)　を求めてください。

（２）任意の定数\(ａ＞０\)に対して、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \sum_{ k= n }^{ 2n } \frac{1}{a+k}\)  は(1)と同じ極限値を持つ事を示してください。　　　　　（東工大）

 

【問題２】

数列\(ａ_n\)を、\(ａ_1＝１、ａ_n＝１＋１/n^2･ａ_{n-1}^2　（n=1,2,3,････）\)で定めます。このとき、\(lim(n→∞)ａ_n\)　を求めてください。　　　（東工大）