指数関数と対数関数－逆関数としての性質の理解－

指数関数の定義

特に指数関数も対数関数も、改めてここでその定義を書いておく必要は無いようにも思いますが、時に対数の定義を時々忘れる人も居るようですから、一応書いておきます。

指数関数とは、定数aをa>0、a≠1とするとき、\(y=a^{x}\)　で表される関数として定義します。単に指数関数\ (ｙ＝a^{x}\) と書いてあれば、a=1も含める場合もありますが、a=1では、y=1となり、余り意味がありませんから、通常はa≠1とします。\( a^{x}>0\) ですから、\( y=a^{x}\) は、正でx軸より上側になります。また、ａ＞1なら( y=a^{x} )は、単調増加、0<a<1なら、\( y=a^{x}\)少となります。(a^{0}＝1)ですから、必ず（0,1)を通るのは明白です。ａ＜0を考えると、\(y=a^{x}\) は、正になったり負になったりしますから、関数として取り扱いにくくなります。そこで、ａ＞0とするわけです。

対数関数の定義

上記の指数関数に対応して、a>0、a≠1に対して、\( a^{y}=x\) となる実数ｙがただ一つ定まります。（グラフで考えれば分かりやすいと思います。）このｙを、y=logaxと書き、これを対数関数といいます。aを底、ｘを真数といいます。定義から、真数x>0です。y=logaxは、\( y=a^{x}\) のxとyを入れ替えたものですから、互いに逆関数となります。またy=xに関して対称になります。対数関数ｙ＝logaxは、a>1のとき単調増加、0<a<1のとき、単調減少となり、当然x>0です。また、y=logaxは、定点（1,0）を通るのも定義から明白だと思います。

ここまで、指数関数、対数関数の定義、性質を説明しましたから、後は問題演習で指数関数、対数関数に慣れていきましょう。

指数関数・対数関数の問題

【問題１】

（１）log3４は無理数であることを証明してください。

（２）ａ、ｂは無理数で、\( a^{b}\) 　が有理数であるような数a,bの組を１つ示してください。

【問題２】

 \( y=e^{x}\) 、y=logｘについて、\(y=e^{x}\) 上の点\((a,e^{a})\) における接線が、y=logｘと接するものとします。

（１）aの満たす関係式を求めてください。

（２）aの満たす条件式におけるａの値は、-2<a<-1及び1<a<2の範囲にそれぞれ１つずつあることを示してください。