慶応義塾大学医学部－最難関私立医学部・解答編－
慶応義塾大学医学部
慶応義塾大学医学部の問題の解答を示しておきます。毎年、相当量の問題文が提示されますので、要領よく問題文をよみ、要求されている解答をしなければなりません。一部記述式になっています。個人的な見解ですが、あまり解きたいと思うような問題ではありません。しかし、ここの志望者は、解かねばならぬのだ。
穴埋め問題は、とりあえず解答を記しておきます。問題は、次のリンクです。慶応義塾大学医学部
慶応義塾大学医学部・解答
【問題1】
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させてください。
（１）不等式 \log{2}(5－2x)+2\log{1/2}(x+2)≦0を満たすxの範囲は、（あ) です。
（２）２つの関数f(x)＝\vert x^2+3bx－b/4 \vert、g(x)＝x^2+3b\vert x \vert－b/4の最小値が一致するようなbの範囲は、（い) です。
（3）0≦α＜π/2のとき、関数f(x)＝sin(ｘ－α)cosx (α≦ｘ≦π/2)は、x＝（う) のとき最大値が1/4となるのは、α＝（え）のときです。
【解答1】
この問題は、ぜひともとりにいきましょう。
（あ）＝－3+\sqrt{10}≦x＜5/2、（い）＝－1/9≦b≦0
（う）＝α/2+π/4、（え）＝π/6
【問題2】
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させてください。
数直線上の点の集合S={－1,0、1}を考えます。球が2個用意されており、Sの各点上には、2個まで球を置くことができるものとします。S内に置かれた球に対する次の操作Tを考えます。
操作T
操作T_1：S内に球が1個だけ置かれている場合は、その球に対して次の操作Aを行います。
操作A
操作A1 球が点0上に置かれている場合はその球を確率1/3でSから取り除き、、確率1/3ずつで点－1または点1の上に移す。
操作A2 球が点－1または点1の上に置かれている場合はその球を必ず点0の上に移す。
T_2：S内に球が2個置かれている場合は、どちらか１個の球を等しい確率で選び、その選ばれた球に対して操作Aを行います。
いま、球が2個ともに点0上に置かれている状態から始めて、操作Tを繰り返し行います。ただし、S内に球がなくなった場合は、操作を行うのをやめます。m,nは自然数とします。
（１）操作Tをn回繰り返し終えたとき、球が2個とも点0上に置かれている確率をp_nとし、点－1と点0の上に１個ずつ置かれているか
または点0と点1の上に１個ずつ置かれている確率をq_nとします。
（ⅰ）n≧2に対して、p_n＝(あ）q_{n-1}
(ⅱ）q_1＝（い）である。一般にq_{2m}＝0であり、q_{2m-1}をmの式で表すと、q_{2m-1}＝（う）です。
（２）操作Tをn回繰り返し終えたとき、S内に球が1個だけあり、かつそれぞれが点0上に置かれている確率をr_n、点－1または1の上に置かれている確率をs_nとします。
(ⅰ）ｎ≧2に対して、r_n＝（え）s_{n-1}+（お）p_{n-1}、s_n＝（か）r_{n-1}+（き）q_{n-1}です。
(ⅱ）一般に、r_{2m}＝0であり、r_{2m-1}をmの式で表すと、r_{2m-1}＝（く)です。
【解答2】
（あ）＝1/2、（い）＝2/3、（う）＝(2/3)^m、（え）＝1
（お）＝1/3、（か）＝2/3、（き）＝1/6、（く）＝ｍ/2･(2/3)^m
【問題３】
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させてください。
p,qを正の実数として、曲線Cを：x^{1/p}+ｙ^{1/q}＝1 (0≦ｘ≦1、0≦ｙ≦1）で定義するものとします。
（１）曲線Cの方程式をyについて解いて得られる関数をy=f(x) （0≦ｘ≦1）とおきます。y=f(x)が0＜ｘ＜1において変曲点を持つための
p,qの条件は、（あ）を満たすことが必要十分です。
（２）曲線Cとx軸、ｙ軸で囲まれた図形の面積をS(p,q)とすると、S(1,q)＝（い）であり、p=1ならばS(p,q)とS(p-1,q+1)の間には
S(p,q)＝（う）S(p-1,q+1)の関係があります。p,qがともに自然数であるとき、S(p,q)をp,qで表すと、S(p,q)＝（え）となります。
（3）p=q=3のとき、直線ｌ：x+y=αが曲線Cと2点を共有するための必要十分条件は、（お＜α≦1です。この条件が成り立つとき、直線lと
曲線Cの交点P,Qのｘ座標をx_1、x_2とするとx_1^{1/3}x_2^{1/3}＝（か)かつ(x_1^{1/3}－x_2^{1/3})^2＝（き）であり、
さらにα_0＝（お）とおくとき、\displaystyle \lim_{ α \to α_0+0}\frac{PQ^2}{α－α_0}＝（く）が成り立ちます。
【解答3】
微分をしてください。
（あ）＝(1－p)(1－q)＜0、（い）＝1/(q+1)、（う）＝p/(q+1)
（え）＝p!q!/(p+q)!、(お）＝1/4
（か）＝(1－α)/3、（き）＝(4α－1)/3、（く）＝3/2
【問題4】
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させてください。また、設問（１),(３）に答えてください。
実数の数列a_nが「長さ有限」とは、ある番号から先の全てのnに対してa_n＝0となること言うこととします。また、数列{a_n}を１つの文字で表すときは、A={a_n}あるいは、A=(a_1,a_2，･･････････)と書くものとします。数列A={a_n}が長さ有限のとき、a_n≠0となるような自然数nの最大値を、数列Aの「長さ」と呼びます。ただし、全てのnに対してa_n＝0の数列の長さは0とします。数列A={a_n}、B={b_n}および実数の定数cに対してA+B={a_n+b_n}、ｃA={ca_n}により数列A+B，ｃAを定義します。次にA,Bがともに有限のときに限り、内積A・B、距離\overline{AB}を次のように定めることにします。
A・B＝\displaystyle \sum_{ ｎ= 1 }^{ ∞ } a_n･b_n、\overline{AB}＝\sqrt{\displaystyle \sum_{ｎ= 1 }^{∞}( a_n－b_n)^2} (実際には、\displaystyle \sum_{ｎ= 1 }^{∞}は有限個の数の和になります。)
A(0)＝(0,0,0,････････),A(1)＝(1,0,0,･･･････)であるとし、さらにs=2,3,･･･････に対して長さsの数列A(s)＝(a(s)_1,a(s)_2,･････,a(s)_s,0,0,･･････)が定まっていて、a(s)_n＞0 (n=1,2,････････,s)かつ\overline{A(s)A(t)}＝１ (s≠tかつs,t＝0,1,2･･･)が成り立っているとします。
（１）ｓ≧1ならばA(s)・A(s)＝1であり、また1≦ｓ＜tならば(A(s)・A(t)＝1/2であることを示してください。A(s)＝{a_n}、A(t)＝{b_n}としてください。
（２）A(2)＝((あ）,（い）、0,0,･･････）、A(3)＝(（う）、（え）、（お）、0,0,･･････)となります。
（３）2≦s＜tならば数列A(t)とA(s)のはじめのs－1はすべて一致することを示してください。ただし数列A(s)、A(t)のはじめのs項、ｔ項をそれぞれ、a_1,a_2，････････，a_sおよびb_1，b_2，････････，b_sとおき、また、ｓとｔ以外の全てのi≧1について数列A(i)の初めのi項をc(i)_1，c(i)_2，･･････････，c(i)_iとおいてください。
（4）i=1,2,･･･････に対して長さtの数列B(t)をB(t)＝1/(1+t)・{A(1)+A(2)+･････････+A(t)}＝1/(t+1)・\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ t } A(i) により求めると、ｓ＝1,2,････････に対してA(s)・B(t)＝（か)です。
（５）（３）で示されたことから、二つの数列{x_n}、{y_n}が定まっていて、すべてのs≧2に対してA(s)は、A(s)＝(x_1,x_2,･･････,x_{s-1},y_s,0,0,･････････)と表されます。y_s/x_sをsの式で表すと、y_s/x_s＝（き）となります。また、x_sをsの式で表すと、x_s＝(く)となります。
【解答4】
国語や英語の長文読解も兼ねているのでしょうか。慶応義塾大学医学部の受験生は、数学をマスターすると同時に長文読解力を養っておく必要があると思います。毎年ですが、ようやるわ。
（１）s≧1なら、(\overline{A(0)A(s)})^2＝１ だから、\displaystyle \sum_{ ｎ= 1 }^{s} a_n^2＝1から、A(s)･A(s)=1 また、 1≦s<tならば、\displaystyle \sum_{ ｎ= 1 }^{t} b_n^2＝1だから、
(\overline{A(s)A(t)})^2＝\displaystyle \sum_{ ｎ= 1 }^{ ∞ }( a_n－b_n)^2=2－２A(s)A(t) よって、A(s)A(t)＝1/2
（あ）＝1/2、（い）＝\sqrt{3}/2、（う）＝1/2、（え）＝\sqrt{3}/6、（お）＝\sqrt{3}/3、（か）＝1/2、（き）＝ｓ+1、（く）＝1/\sqrt{2s(s+1)}
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