微積分－理系で必須の項目－

微積分の基本から応用

数Ⅲの微積分の問題は、難関校理系によく出題されます。これまで、かなりの数Ⅲの微積分の演習をしてきましたが、計算力も含めて実力をつけましょう。

微積分の問題

【問題１】

(1)$a$を1より大きい実数とします。0以上の任意の実数ｘに対して、次の不等式が成り立つことを示してください。

$log２+ｘ/2･logａ≦log(1+ａ^x)≦log2+ｘ/2･loga+ｘ^2/8･(loga)^2$

(2)$n=1,2,3･･････$に対して、$ａ_n＝((1+\sqrt[n]{3}/2)^n$

【問題2】

平面上に２つの曲線 C :$y=e^(２ｘ)＋1$、$Ｄ：y=－ｘ^4＋14ｘ－49$がある。
点P,QがそれぞれC上とD上を動くとき、線分$PQ$の長さの最小値をもとめてください。

【問題３】

(1)ｎを正の整数とします。$－π/2≦ｘ≦π/2$の範囲において、

$f_n(x)＝sinnx/sinx　(－π/2≦ｘ≦π/2、ｘ≠0）$
$c_n$　(x=0)\)

で定義される関数$f_n(x)$が、連続関数になるような定数$C_n$
を求めてください。

(2)任意の正の整数ｎに対して、

$\displaystyle \int_{ -π/2}^{π/2} f_2n+1(x) dx$

の値を求めてください。