微積分-理系で必須の項目-
微積分の基本から応用
数Ⅲの微積分の問題は、難関校理系によく出題されます。これまで、かなりの数Ⅲの微積分の演習をしてきましたが、計算力も含めて実力をつけましょう。
微積分の問題
【問題1】
(1)aを1より大きい実数とします。0以上の任意の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示してください。
log2+x/2・loga≦log(1+a^x)≦log2+x/2・loga+x^2/8・(loga)^2
(2)n=1,2,3・・・・・・に対して、a_n=((1+\sqrt[n]{3}/2)^n
【問題2】
平面上に2つの曲線 C :y=e^(2x)+1、D:y=-x^4+14x-49がある。
点P,QがそれぞれC上とD上を動くとき、線分PQの長さの最小値をもとめてください。
【問題3】
(1)nを正の整数とします。-π/2≦x≦π/2の範囲において、
f_n(x)=sinnx/sinx (-π/2≦x≦π/2、x≠0)
c_n (x=0)\)
で定義される関数f_n(x)が、連続関数になるような定数C_n
を求めてください。
(2)任意の正の整数nに対して、
\displaystyle \int_{ -π/2}^{π/2} f_2n+1(x) dx
の値を求めてください。