微積分-理系で必須の項目-

微積分の基本から応用

数Ⅲの微積分の問題は、難関校理系によく出題されます。これまで、かなりの数Ⅲの微積分の演習をしてきましたが、計算力も含めて実力をつけましょう。

微積分の問題

【問題1】

(1)aを1より大きい実数とします。0以上の任意の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示してください。

log2+x/2・loga≦log(1+a^x)≦log2+x/2・loga+x^2/8・(loga)^2

(2)n=1,2,3・・・・・・に対して、a_n=((1+\sqrt[n]{3}/2)^n

【問題2】

平面上に2つの曲線 C :y=e^(2x)+1D:y=-x^4+14x-49がある。
点P,QがそれぞれC上とD上を動くとき、線分PQの長さの最小値をもとめてください。

【問題3】

(1)nを正の整数とします。-π/2≦x≦π/2の範囲において、

f_n(x)=sinnx/sinx (-π/2≦x≦π/2、x≠0)
c_n (x=0)\)

で定義される関数f_n(x)が、連続関数になるような定数C_n
を求めてください。

(2)任意の正の整数nに対して、

\displaystyle \int_{ -π/2}^{π/2} f_2n+1(x) dx

の値を求めてください。

 

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