微積分－理系で必須の項目－

微積分の基本から応用

数Ⅲの微積分の問題は、難関校理系によく出題されます。これまで、かなりの数Ⅲの微積分の演習をしてきましたが、計算力も含めて実力をつけましょう。

微積分の問題

【問題１】

(1)\(a\)を1より大きい実数とします。0以上の任意の実数ｘに対して、次の不等式が成り立つことを示してください。

\(log２+ｘ/2･logａ≦log(1+ａ^x)≦log2+ｘ/2･loga+ｘ^2/8･(loga)^2\)

(2)\(n=1,2,3･･････\)に対して、\(ａ_n＝((1+\sqrt[n]{3}/2)^n\)

【問題2】

平面上に２つの曲線 C :\(y=e^(２ｘ)＋1\)、\(Ｄ：y=－ｘ^4＋14ｘ－49\)がある。
点P,QがそれぞれC上とD上を動くとき、線分\(PQ\)の長さの最小値をもとめてください。

【問題３】

(1)ｎを正の整数とします。\(－π/2≦ｘ≦π/2\)の範囲において、

\(f_n(x)＝sinnx/sinx　(－π/2≦ｘ≦π/2、ｘ≠0）\)
\(c_n\)　(x=0)\)

で定義される関数\(f_n(x)\)が、連続関数になるような定数\(C_n\)
を求めてください。

(2)任意の正の整数ｎに対して、

\(\displaystyle \int_{ -π/2}^{π/2} f_2n+1(x) dx\)

の値を求めてください。