微積分－理系での必須項目・解答編－

微積分-難関理系数学での必須単元

数学Ⅲの微積分は、大学で学ぶ解析学につながるものです。入試問題でも頻出項目ですから、演習を十分やっておきましょう。微積分－理系の必須項目

微積分の解答

【問題１】

(1)\(a\)を1より大きい実数とします。0以上の任意の実数ｘに対して、次の不等式が成り立つことを示してください。

\(log２+ｘ/2･logａ≦log(1+ａ^x)≦log2+ｘ/2･loga+ｘ^2/8･(loga)^2\)

(2)\(n=1,2,3･･････\)に対して、\(ａ_n＝((1+\sqrt[n]{3}/2)^n\)とするとき
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ａ_n\)　を求めてください。
（大阪大）

【解答１】

(1)\(f(x)＝log(1+ａ^x)－(log2+ｘ/2･loga)\)　とおくと、
\(f(x)＝log(1+ａ^x)－log２ａ^(x/2)＝log(a^(x/2)－1)^2≧0\)
よって、\(log２+ｘ/2･logａ≦log(1+ａ^x)\)

また、\(g(x)＝(log2+ｘ/2･loga+ｘ^2/8･(loga)^2)－log(1+ａ^x)\)とおく
と、
\(ｇ’(x)＝logａ/2+ｘ/4･(logａ)^2－ａ^xloga/(1+ａ^x)\)
\(ｇ’’(x)＝(logａ)^2/4－ａ^x(logａ)^2/(1+ａ^x)^2\)
＝\((1－ａ^x)^2/4(1+ａ^x)^2･(logａ)^2＞0\)
よって、\(ｇ’(x)\)は単調増加で、\(g’(0)＝0\)より、\(g(x)\)は単調増加で、
\(g(0)＝0\)だから、
\(log(1+ａ^x)≦log2+ｘ/2･loga+ｘ^2/8･(loga)^2\)

(2)\(ａ_n＝((1+\sqrt[n]{3}/2)^n\)だから、
\(logａ_n＝ｎ{log(1＋\sqrt[1/n]{3})－log２}\)

(1)で\(ａ＝3,x=1/ｎ\)とおくと、不等式は、

\(1/2n･log３≦log(1＋\sqrt[1/n]{3}－log２≦\)
\(1/2n･log３+1/8ｎ^2(log３)^2\)

よって、\(1/2log３≦loga_n≦1/2･log３+1/8ｎ･(log3)^2\)

\(1/2log３≦\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ａ_n≦1/2log３\)
従って、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ａ_n＝\sqrt{3}\)

【問題2】

平面上に２つの曲線 C :\(y=e^(２ｘ)＋1\)、\(Ｄ：y=－ｘ^4＋14ｘ－49\)がある。
点P,QがそれぞれC上とD上を動くとき、線分\(PQ\)の長さの最小値をもとめてください。(首都大学東京）

【解答２】

\(C\)上の点\(P(p,s)\)、\(D\)上の点\(Q(q,t)\)とすると、
\(PQ^2＝(q－ｐ)^2＋(ｔ－ｓ)^2\)･･････①

ここで、Pを固定して、Qを動かすと、
\(d/dq(PQ^2）＝2(q-p)＋2((t-s)(dt/ds)\)
\(PQ\)は、\(PQ^2\)が最小になる点Q_0とき、最小となります。
よって、\(d/dq(PQ^2)＝0\)から、

\(dt/ds=－(ｑ－ｐ)/((ｔ－s)、ｄｔ/ｄｑ･｛(ｔ-s)/(ｐ－q)｝＝－1\)
よって、\(D\)の\(Q_0\)における接線は、\(PQ_0\)と直交することになります。
同様に考えると、\(PQ\)を最小にする点を、\(Ｐ_0,Q_0\)とすると、
\(Ｐ_0Q_0\)は、\(C,D\)の共通法泉となります。
\(P_0(0,2)、Q_0(6,-1)\)より、
最小値は,\(P_0Q_0＝\sqrt{6^2+(－3)^2}＝３\sqrt{5}\)

【問題３】

(1)ｎを正の整数とします。\(－π/2≦ｘ≦π/2\)の範囲において、

\(f_n(x)＝sinnx/sinx　(－π/2≦ｘ≦π/2、ｘ≠0）\)
=\(c_n　(x=0)\)

で定義される関数\(f_n(x)\)が、連続関数になるような定数\(C_n\)
を求めてください。

(2)任意の正の整数ｎに対して、

\(\displaystyle \int_{ -π/2}^{π/2} f_{2n+1}(x) dx\)

の値を求めてください。（東大）

【解答３】

(1)\(ｘ≠0\)のとき、\(sinnx、sinx\)は連続であるから、\(f(x)\)も連続となります。
よって、\(f(x)\)が連続である条件は、
\(\displaystyle \lim_{ ｘ \to 0} f(x)＝f(0)\)が成り立つことです。

\(\displaystyle \lim_{ ｘ \to 0 } f(x)\)
＝\(\displaystyle \lim_{ｘ\to 0 }(sinnx/sinx)＝ｎ\)
よって、\(c_n＝ｎ\)

(2)\(I_n＝\displaystyle \int_{－π/2}^{π/2} f_{2n+1}(x) dx\)とします。

\(I_(ｎ+1)－I_n＝\displaystyle \int_{－π/2 }^{π/2 } {sin(2n+3)ｘ-sin(2n+1)ｘ}/sinｘdx\)
＝\(2\displaystyle \int_{-π/2}^{π/2}cos(2n+2)ｘdx＝0\)

よって、\(I_(n+1)＝I_n\)

従って、\(I_n＝I_1＝\displaystyle \int_{－π/2}^{π/2} f_3(x)dx＝π\)