微積分法－最大・最小－

微積分の応用問題

最大・最小の問題は、数学のテーマの１つであり、2次関数、整関数、指数関数、対数関数、三角関数など様々な関数をあつかいます。数Ⅱでは、微積分を使う問題としては、整関数のみを扱いますが、問題次第では結構面倒になったりします。微積分法を用いて、最大・最小を求める問題は多くありますが、ここではそのような問題の演習をして見ましょう。難関校のみの問題を選んでいます。

微積分の問題

【問題１】

\(ａ\)を実数とします。

(1)　曲線　\(y=8/27･ｘ^3\)と放物線\(y=(x+a)^2\)の両方に接する直線がｘ軸
以外に2本あるように\(ａ\)の値の範囲を求めてください。

(2)　\(a\)が、(1)の範囲にあるとき、この2本の接線と、放物線\(y=(x+a)^2\)で
囲まれた部分の面積\(Sをａ\)を用いてあらわしてください。
（東大）

【問題２】

半径\(1cm\)の半球状の器が水平からθだけ傾いて固定されているとします。ただし
\(0°＜θ＜90°\)とします。この器に、毎秒\(π/18 cm^3\)の割合で水を入れるとき、
入れ始めてから　\((3+cos^2θ)\)秒後に器から水が流れはじめました。
このとき、\(θ\) の値を求めてください。（東大）

【問題３】

２次関数 \(y=(ax+b)^2　（0≦ｘ≦1）\)の最大値を、\(M(a,b)\)とします。このとき

不等式　\(M(a,b)≦m･\displaystyle \int_{0}^{1}(ax+b)^2 dx\)が、

任意の実数 \(a,b\)に対して成り立つような実数ｍのなかで、最小のものを求めてください。（京大）

【問題4】

正の実数 \(a\)に対して、実数全体で定義される関数\(g(x)\)を

\(g(x)＝\displaystyle \int_{-2}^{2}lｘ－ｔｌ･(ｔ^2－ａ^2) dx\)

で定めます。このとき、\(g(x)\)が最小値を持つような\(a\)の範囲をを求めてくださ
い。また、\(a\)がその範囲にあるときに、\(g(x)\)の最小値を、\(a\)を用いてあらわ
してください。（京大）