微積分法-最大・最小-

微積分の応用問題

最大・最小の問題は、数学のテーマの1つであり、2次関数、整関数、指数関数、対数関数、三角関数など様々な関数をあつかいます。数Ⅱでは、微積分を使う問題としては、整関数のみを扱いますが、問題次第では結構面倒になったりします。微積分法を用いて、最大・最小を求める問題は多くありますが、ここではそのような問題の演習をして見ましょう。難関校のみの問題を選んでいます。

微積分の問題

【問題1】

を実数とします。

(1) 曲線 y=8/27・x^3と放物線y=(x+a)^2の両方に接する直線がx軸
以外に2本あるようにの値の範囲を求めてください。

(2) aが、(1)の範囲にあるとき、この2本の接線と、放物線y=(x+a)^2
囲まれた部分の面積Sをaを用いてあらわしてください。
(東大)

【問題2】

半径1cmの半球状の器が水平からθだけ傾いて固定されているとします。ただし
0°<θ<90°とします。この器に、毎秒π/18 cm^3の割合で水を入れるとき、
入れ始めてから (3+cos^2θ)秒後に器から水が流れはじめました。
このとき、θ の値を求めてください。(東大)

【問題3】

2次関数 y=(ax+b)^2 (0≦x≦1)の最大値を、M(a,b)とします。このとき

不等式 M(a,b)≦m・\displaystyle \int_{0}^{1}(ax+b)^2 dxが、

任意の実数 a,bに対して成り立つような実数mのなかで、最小のものを求めてください。(京大)

【問題4】

正の実数 aに対して、実数全体で定義される関数g(x)

g(x)=\displaystyle \int_{-2}^{2}lx-tl・(t^2-a^2) dx

で定めます。このとき、g(x)が最小値を持つようなaの範囲をを求めてくださ
い。また、aがその範囲にあるときに、g(x)の最小値を、aを用いてあらわ
してください。(京大)

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