微積分基本演習－理系－

理系微積分の基礎

理系の数学には、数学Ⅲの微分積分の問題がよく出題されます。いずれも基礎が重要であることは言うまでもありませんが、計算スピード、正確性も極めて大切です。
ここでは、比較的基礎的な理系微積分の問題を取り上げてみましょう。

理系微分積分の基礎問題

【問題1】

曲線　\(C:\)\(y=e^{-x}\)上の点　\(P_0(0,1)\)における接線と\x軸\)との交点を\(Q_1\)とします。\(Q_1\)から\(y軸\)に平行な直線と、\(y=e^{-x}\)との交点を\(P_1\)とし、
\(P_1\)における曲線\(C\)の接線と\(x軸\)との交点を\(Q_2\)とします。以下同様にして、\(P_n、Q_n\)を定めます。２直線　\(P_{n-1}Q_n、P_nQ_n\)と曲線\(C\)で囲まれた図形を\(x軸\)の周りに回転してできる回転体の体積を、\(V_n\)とします。

\(V=\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{∞} V_n\)を求めてください。

【問題２】

\(p,q\)を正の整数とするとき、

\(I_{p,q}＝\displaystyle \int_{0}^{1} t^p(1-t)^q･dt\)　とおきます。

(1)　\(q≧1\)のとき、次式が成り立つことをしめしてください。

\(I_{p,q}＝q/(p+1)・I_{p+1,q+1}\)

(2)　次の式を証明してください。

\(I_{p,q}＝p!q!/(p+q+1)！\)

【問題3】

２つの曲線　\(x^2/9+y^2＝1\)と　\(\sqrt{x/3}+\sqrt{y}＝1\)が第１象限で囲む部分の図形を\(x軸\)の周りに1回転してできる立体の体積を求めてください。

【問題4】

関数　\(f(x)＝1/3･sin3x－2sin2x+sinx\)　の　区間　\([0,π]\)　における最大値と最小値を求めてください。