微積分基本演習・理系－解答編－

理系微積分の基礎

理系の数学には、数学Ⅲの微分積分の問題がよく出題されます。いずれも基礎が重要であることは言うまでもありませんが、計算スピード、正確性も極めて大切です。
ここでは、比較的基礎的な理系微積分の問題を取り上げてみましょう。

理系微分積分の基礎問題

【問題1】

曲線　\(C:\)\(y=e^{-x}\)上の点　\(P_0(0,1)\)における接線と\x軸\)との交点を\(Q_1\)とします。\(Q_1\)から\(y軸\)に平行な直線と、\(y=e^{-x}\)との交点を\(P_1\)とし、
\(P_1\)における曲線\(C\)の接線と\(x軸\)との交点を\(Q_2\)とします。以下同様にして、\(P_n、Q_n\)を定めます。２直線　\(P_{n-1}Q_n、P_nQ_n\)と曲線\(C\)で囲まれた図形を\(x軸\)の周りに回転してできる回転体の体積を、\(V_n\)とします。

\(V=\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{∞} V_n\)を求めてください。

【解答1】

\(Q_0(0,0)\)とし、\(Q_n(x_n,0)\)とすると、\(P_{n-1}\)における接線の方程式は、
\(y=－e^{-x_{n-1}}(ｘ-x_{n-1})+e^{-x_{n-1}}\)より
これが、\(Q_n\)を通るから、\(x_n－ｘ＿｛ｎ－１｝＝1\)
よって、\(x_n＝n\)から、\(Q_n(n,0)\)となります。
\(V_n＝\displaystyle \int_{ｎ-1}^{n} π･(e^{-x})^2dx－1/3･(e^{-(n-1)})^2\)
＝\(π/6･e^{-2(n-1)}－π+/2･e^{-2n}\)

従って、\(V=\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{∞} V_n＝π(e^2-3)/6(e^2-1)\)

 

【問題２】

\(p,q\)を正の整数とするとき、

\(I_{p,q}＝\displaystyle \int_{0}^{1} t^p(1-t)^q･dt\)　とおきます。

(1)　\(q≧1\)のとき、次式が成り立つことをしめしてください。

\(I_{p,q}＝q/(p+1)・I_{p+1,q+1}\)

(2)　次の式を証明してください。

\(I_{p,q}＝p!q!/(p+q+1)！\)

【解答2】

いわゆるベータ関数を下敷きにした問題です。ガンマ関数も割合出題されています。
部分積分を使うだけの問題です。

(1)　\(I_{p,q}＝\displaystyle \int_{0}^{1} (t^{p+1}/(p+1))'(1-t)^q dt\)
\(＝q/(p+1)\displaystyle \int_{0}^{1} t^{p+1}(1-t)^{q-1} dt\)
\(＝q/(p+1)I_{p+1,q-1}\)

(2) \(I_{p,0}＝1/(p+1)\)
また、上の\(I_{p,q}\)の漸化式を使って、
\(I_{p,q}＝q/(p+1)･(q-1)/(p+2)･･････････1/(p+q)･1/(p+q+1)\)
=\(p!q!/(p+q+1)!\)

【問題3】

２つの曲線　\(x^2/9+y^2＝1\)と　\(\sqrt{x/3}+\sqrt{y}＝1\)が第１象限で囲む部分の図形を\(x軸\)の周りに1回転してできる立体の体積を求めてください。

【解答3】

２つの曲線の交点は、\((3,0),(0,1)\)です。
2つの曲線は、\(y^2＝1－x^2/9\)と\(y^2＝(1－\sqrt{x/3})^4\)となりますから、
求める体積を\(V\)とおくと、

\(V=\displaystyle \int_{0}^{3} (π(1－x^2/9)－π(1－(\sqrt{x/3})^4 dx\)
＝\(２π-π/5＝9π/5\)

〔注）　後半の定積分は、置換積分をしています。

【問題4】

関数　\(f(x)＝1/3･sin3x－2sin2x+sinx\)　の　区間　\([0,π]\)　における最大値と最小値を求めてください。

【解答4】

\(f'(x)＝cos3x－4cos2x+cosx＝4cos^3x+-8cos^2x－2cosx+4\)
=\(2(cosｘ－2)(2cos^2x－1)\)　となりますから
増減を考えて、
最大値：\(2\sqrt{2}/3+2　　（x=3/4π）\)
最小値：\(2\sqrt{2}/3－2　　(x=π/4)\)