微積分・最大最小－解答編－

微積分・難関大の問題

数Ⅱの微積分（整関数）の微積分ですが難関校の問題となると、手順や計算や場合わけが面倒になります。これを決められた時間内で正答を得なければならないわけですから、演習が必要になります。計算スピードと正確さを両立させるようなトレーニングをして欲しいと思います。問題等は、次のリンクです。微積分法－最大・最小－

問題の解答

【問題１】

\(ａ\)を実数とします。

(1)　曲線　\(y=8/27･ｘ^3\)と放物線\(y=(x+a)^2\)の両方に接する直線がｘ軸
以外に2本あるように\(ａ\)の値の範囲を求めてください。

(2)　\(a\)が、(1)の範囲にあるとき、この2本の接線と、放物線\(y=(x+a)^2\)で
囲まれた部分の面積\(Sをａ\)を用いてあらわしてください。
（東大）

【解答１】
\(y=8/27･ｘ^3\)上の点\(（3t,8ｔ^3)\)における接線の方程式は、
\(y=８ｔ^2ｘ－16ｔ^3\)･･･････①　です。

①が、\(y=(x+a)^2\)に接する条件を求めます。
\((x+a)^2＝８ｔ^2ｘ－16ｔ^3\)　すなわち
\(ｘ^2＋2(ａ－4ｔ^2)ｘ+ａ^2+16ｔ^3＝０\)･･･････②
が重解を持つときですから、

②の判別式を\(Ｄ\)とすれば、
\(Ｄ/４＝(ａ－4ｔ^2)^2－(ａ^2+16ｔ^3)＝0\)　から、
\(ｔ^2(２ｔ^2－２ｔ－ａ)＝0\)
①がｘ軸になるのは、\(ｔ＝0\)ですから、これ以外の接点は、
\(2ｔ^2－2ｔ－ａ＝0\)･･････③
が相異なるｔ≠0の実数解を持つときです。

従って、\(1+２ａ＞0かつａ≠0\)
よって\(－1/2＜ａ＜0、0＜ａ\)

(2)　③の２実数解を、\(ｔ、u（ｔ＜ｕ）\)とすると、
\(ｔ+ｕ＝1、ｔｕ＝－ａ/2\)

放物線\(y=(x+a)^2\)と、接点\(ｔ，ｕ\)の①との接点のｘ座標を\(α、β（α＜β)
\)とすると、②が重解をもつから、
\(α＋β＝4(ｔ+u)＝4+２ａ\)
\(αβ＝16ｔｕ+４ａ(ｔ+u)+ａ^2＝ａ^2－4ａ\)

また、2本の接線の交点のｘ座標は、
\(2(α+ａ)(ｘ－α)+(α+ａ)^2＝2(β+α)(ｘ－β)+（β－α)^2\)
よって、\(α≠βより、ｘ＝(α+β)/2\)

また、\((ｘ+ａ)^2－{2(α+ａ)(ｘ－α)+(α+ａ)^2}＝(ｘ－α)^2\)ですから、

\(Ｓ＝\displaystyle \int_{0}^{(α+β)/2}(ｘ－α)^2 dx＋\displaystyle \int_{(α+β)/2}^{β}(ｘ－β)^2dx\)

＝\(1/12･(β－α)^3＝1/12･\sqrt[3/2]{(α+β)^2－4αβ}\)

=\(16/3･\sqrt[3/2]{2a+1}\)

【問題２】

半径\(1cm\)の半球状の器が水平からθだけ傾いて固定されているとします。ただし
\(0°＜θ＜90°\)とします。この器に、毎秒\(π/18 cm^3\)の割合で水を入れるとき、
入れ始めてから　\((3+cos^2θ)\)秒後に器から水が流れはじめました。
このとき、\(θ\) の値を求めてください。（東大）

【解答２】

\(θ\)傾けた容器に入る水の最大値を\(Ｖ\)とします。これは、
円\(ｘ^2+ｙ^2=1･･････①　と直線　ｘ＝sinθ\)で囲まれた部分を、ｘ軸の回りに
回転して得られる立体の体積に等しくなります。

①から、\(ｙ^2＝1－ｘ^2\)から、
\(V=π\displaystyle \int_{sinθ}^{1}ｙ^2・dx\)
＝\(π\displaystyle \int_{sinθ}^{1}(1－ｘ^2)・dx\)
＝\(π(2/3－sinθ+sin^3θ/3)\)

また、水が流れ出した条件から、\(V=π/18･ (3＋cos^2θ)_)

よって、\(2/3－sinθ+sin^3θ/3＝1/18･ (3＋cos^2θ)\)
\(sinθ＝ｔ\)とおくと、\(0＜t<1\)で、
\(6ｔ^3＋ｔ^2－18ｔ＋8＝0\)
\((ｔ+2)(2ｔ－1)(3t-4)＝0\)　\(0＜ｔ＜1\)より、\(ｔ＝sinθ＝1/2\)
よって、\(θ＝30°\)

【問題３】

２次関数 \(y=(ax+b)^2　（0≦ｘ≦1）\)の最大値を、\(M(a,b)\)とします。このとき

不等式　\(M(a,b)≦m･\displaystyle \int_{0}^{1}(ax+b)^2 dx\)が、

任意の実数 \(a,b\)に対して成り立つような実数ｍのなかで、最小のものを求めてください。（京大）

【解答３】

\(y=(ａｘ+b)^2\)は、\(－b/a＜1/2\)のとき、\(x=1\)で最小、\(－b/a＞1/2\)のとき、\(ｘ＝0\)で最大です。

ここで、\(ｔ＝b/a\)とおくと、
\(ｔ＞－1/2　のとき、M(a,b)＝(a+b)^2\)、ｔ≦－1/2のとき、M(a,b)＝ｂ^2\)

\(ｔ≦－1/2　のとき、ｂ^2≦ｍ\displaystyle \int_{0}^{1}(ax+b)^2・dx\)から
\(ｂ^2≦ｍ(ａ^2/3+ab+ｂ^2)で、ａ^2＞0でわって、\)
\((3ｍ－1)ｔ^2+3mt+ｍ≧0\)･････････①

\(ｔ＝－1/2\)で成立するから、
\(3(m-1)/4－3/2ｍ+ｍ≧0よりｍ≧3･･････②\)

このとき、①の軸、判別式を考えて、
\(3ｍ(ｍ－4)≧0、②から、ｍ≧4\)

ｍ＝4のとき、\((a+b)^2≦4(ａ^2+ab+ｂ^2)\)から、\((a+3b)^2≧0\)となり、
常に成立します。従って、求めるｍ＝４です。

【問題4】

正の実数 \(a\)に対して、実数全体で定義される関数\(g(x)\)を

\(g(x)＝\displaystyle \int_{-2}^{2}lｘ－ｔｌ･(ｔ^2－ａ^2) dx\)

で定めます。このとき、\(g(x)\)が最小値を持つような\(a\)の範囲をを求めてくださ
い。また、\(a\)がその範囲にあるときに、\(g(x)\)の最小値を、\(a\)を用いてあらわ
してください。（京大）

【解答４】

\(－2＜ｔ＜２\)で考えます。
\((ｘ-ｔ^2)(ｔ^2－ａ^2)＝－ｔ^2+ｘｔ^2+ａｔ^2－ａ^2ｘ\)

1)\(ｘ≦－2のとき　ｘ－ｔ≦0\)で
\(g(x)＝\displaystyle \int_{-2}^{2}(ｔ－ｘ)･(ｔ^2－ａ^2) dt\)
＝\((4ａ^2－16/3)ｘ\)

2)\(－2≦ｘ≦2\)のとき、
\(g(x)＝\displaystyle \int_{-2}^{2}(ｘ－ｔ)･(ｔ^2－ａ^2) dt\)
＝\(1/6･ｘ^4－ａ^2ｘ^2－4ａ^2＋8\)
＝\(1/6･(ｘ^2－3ａ^2)^2－3/2･ａ^4－4ａ^2+8\)

3)\(ｘ≧2\)のときは、
\(g(x)＝\displaystyle \int_{-2}^{2}(ｘ－ｔ)･(ｔ^2－ａ^2) dt\)
＝－(4ａ^2－16/3)ｘ\)

1)～3)より\(ｙ＝g(x)\)は、ｙ軸に関して対称で、\(ｘ≦－２、2≦ｘ\)で半直線です。

よって、\(g(x)\)が最小値をもつ条件は、\(4ａ^2－16/3≦0、ａ＞0\)より、
\(0＜ａ≦2\sqrt{3}/3\)
このとき、\(ｘ＝±\sqrt{3}ａ\)で最小値、\(－3/2･ａ^4－4ａ^2＋8\)