微積分の問題-難関大理系でも必須です-

微積分法の問題

理系ではいわゆる数学Ⅲの範囲の問題がよく出題されます。このなかで微積分法はその中心にある単元です。数Ⅱの微積分では整関数の微積分のみを取り扱いますが、数Ⅲでは3角関数、指数関数、対数関数、分数関数、無理関数など高校で扱う全ての関数が対象となります。個々の関数の性質をきちんと理解するのはもちろんですが、微積分で扱う手法も正確に理解する必要があると思います。また、数Ⅲでは2次曲線や複素平面も扱いますので、ここの単元も落ちのないようにしてください。

微積分の問題-難関大-

【問題1】

\(O\)を原点とする座標平面の第Ⅰ象限に曲線 \(C:y=f(x)\)があるとします。\(C\)上の任意の点における接線が、\(x,y\)軸の正の部分と\(P,Q\)で交わるとし、関数\(y=f(x)\)は2回まで微分可能とし、\(f’’(x)>0\)とします。このとき、線分\(PQ\)の長さが\(a(>0)\)となるような\(f(x)\)を求めてください。(頻出)

【問題2】

\(f(x)\)を実数全体で定義された連続関数で、\(x>0で0<f(x)<1\)を満たすものとします。\(a_1=1\)とし順に、\(a_m=\displaystyle \int_{0}^{a_{m-1}} f(x) dx (m=2,3,4,・・・・・・・)\)により数列\(a_m\)を定めます。

(1)\(m≧2\)に対し、\(a_m>0\)であり、\(a_1>a_2>・・・・・・・>a_m>・・・・・\)であることを示してください。
(2)\(1/2016>a_m\)となる\(m\)が存在することを証明してください。
(名古屋大 改)

【問題3】

関数\(f(x)=sinx\)に対して、\(n\)階導関数 \(f^{ ( n ) }(x) (n=0,1,2・・・・)\)を
\(f^{ ( 0 ) }(x)=f(x)\) \(f^{ ( n+1 ) }(x)= df^{ ( n ) }(x) / dx \)で定めます。また、任意の自然数\(n\)に対して、\(2\)つの関数\(y=x・f^{ ( n-1 ) }(x)及びy=f^{ ( n ) }(x)\)のグラフを、\(C_1,C_2\)とします。\(P\)が\(C_1,C_2\)の交点であれば、\(P\)における\(C_1,C_2\)の接線は、互いに直交することを証明してください。(京都大)

 

Follow me!