微積分の問題－難関大・解答編－

微積分の理系難関大の問題

難関大でも数Ⅲの分野である微積分に関する問題は結構出題されます。大学で学ぶ解析学の基本となるものですから、正確な知識と理解をし、計算力も磨いておきましょう。問題のリンクは次です。微積分-難関大の問題-

微積分の問題の解答

【問題１】

$Ｏ$を原点とする座標平面の第Ⅰ象限に曲線　$C：y=f(x)$があるとします。$C$上の任意の点における接線が、$x,y$軸の正の部分と$P,Q$で交わるとし、関数$y=f(x)$は２回まで微分可能とし、$f’’(x)>0$とします。このとき、線分$PQ$の長さが$a(>0)$となるような$f(x)$を求めてください。(頻出)

【解答１】

$C$上の任意の点$(t,f(t))　(t>0)$における接線は、$y=f'(t)(x-t)+f(t)$から、$P,Q$を求めると、$P(t-f(t)/f'(t)､0)､Q(0,f(t)－tf'(t))$　ここで、$f(t)>0$
よって$PQ^2＝((f(t)－tf(t))/(－f'(t))^2+(f(t)－tf'(t))^2＝a^2$
整理すると、$(f(t)－tf'(t))^2＝a^2(f'(t))^2/(1+f'(t)^2)$となります。
$P,Q$は正の部分にあることから、$f'(t)<0$がいえますから、
$f(t)－t･f(t)=－af'(t)/\sqrt{1+f'(t)^2}$が成り立ちます。
ここで、流通座標$(x,y)$に置き換えて考えると、$f(x)－x･f(x)=－af'(x)/\sqrt{1+f'(x)^2}$･･････････①
①の両辺を$x$で微分すると、$2･f'(x)－xf”(x)＝－af”(x)/\sqrt[3]{1+f'(x)^2}^2$から、$\sqrt[3]{x/a}＝1/\sqrt{1+f'(x)^2}$従って、$f'(x)＝－\sqrt{(x/a)^{2/3}－１}$･･･････②　②を①に代入すると、$x^{2/3}＋y^{2/3}＝a^{2/3},　(0<x<a)$　となります。これは、アステロイドの第１象限の部分です。

【問題２】

$f(x)$を実数全体で定義された連続関数で、$x>0で0<f(x)<1$を満たすものとします。$a_１=1$とし順に、$a_m＝\displaystyle \int_{0}^{a_{m-1}} f(x) dx　(m=2,3,4,･･･････)$により数列$a_m$を定めます。

(1)$m≧2$に対し、$a_m>0$であり、$a_1>a_2>･･･････>a_m>･････$であることを示してください。
(2)$1/2016＞a_m$となる$m$が存在することを証明してください。
（名古屋大　改）

【解答２】

(1)　数学的帰納法で証明します。
$a_1＝1＞0$です。
$a_m>0$と仮定すると、$0<f(x)<1$だから、
$a_{m+1}＝\displaystyle \int_{0}^{a_m} f(x) dx＞\displaystyle \int_ {0}^{a_m} 0 dx＝0$
$a_{m+1}＝\displaystyle \int_{0}^{a_m} f(x) dx<\displaystyle \int_ {0}^{a_m} 1･dx＝a_m$
よって、数学的帰納法より、題意は成り立ちます。

(2)　$α$を$0<α<1/2016$･････①である実数とします。連続関数$f(x)$は、
閉区間$α≦x≦a_1=1$で最大値をもち、最大値を$M$とすると、$0<M<1$
ここで、$a_m≧1/2016　(m≧1)$･･･････②　と仮定すると
$a_{m-1}>α＞0　(m≧2)$
これより、$a_m=\displaystyle \int_{0}^{α} f(x) dx+\displaystyle \int_ {α}^{a_{m-1}} f(x) dx＜α+M(a_{m-1}-α)$
従って、$a_m-α＜M(a_{m-1}-α)<･･･････<M^{m-1}(a_1-α)$･････③
③で$m→∞$とすると、$\displaystyle \lim_{ m \to \infty } a_m =α<1/2016$
となり、②に矛盾します。従って背理法により、$1/2016>a_m$となる$m$が存
在します。

(注)名大の問題は、2002年に出題されており、$1/2002>a_m$となる$m$が存在することを証明する問題でした。本問は、これを2016年版に変更したものです。何年でも通用する問題ですが。。$2015$年には、東大に、${}_{2015}\mathrm{ C }_m$が整数になる最小の自然数$m$を求めなさい、と言う問題が出題されています。さて、$2016$年はどうでしょうか。

【問題３】

関数$f(x)＝sinx$に対して、$n$階導関数　$f^{ ( n ) }(x)　(n=0,1,2････)$を
$f^{ ( 0 ) }(x)=f(x)$　$f^{ ( n+1 ) }(x)＝ df^{ ( n ) }(x) / dx$で定めます。また、任意の自然数$n$に対して、$2$つの関数$y=x･f^{ ( n-1 ) }(x)及びy=f^{ ( n ) }(x)$のグラフを、$C_1,C_2$とします。$P$が$C_1,C_2$の交点であれば、$P$における$C_1,C_2$の接線は、互いに直交することを証明してください。（京都大）

【解答３】

$f^{ ( n-1 ) }(x)＝g(x)$とおくと、$C_1:y=xg(x)､C_2:y=g'(x)$
$C_1,C_2$の交点$P$の$x$座標を、$t$とおくと、
$tg(t)＝g'(t)$･･･････①
また、接線$t_1,t_2$の傾きを、$k_1,k_2$とすると、
$k_1･k_2=(g(t)+t^2g(t))g”(t)$････････②
$f(t)＝sint$だから、$g(t)=f^{(n-1)}(t)$は、$±sintまたは、±cost$のどれかです。
どちらの場合も、$g”(t)＝-g(t),　{g(t)}^2+{g'(t)}^2＝1$です。
よって、$k_1･k_2=－1$となるので、$t_1,t_2$は互いに直交します。