微積分の問題－数Ⅲ編－

数Ⅲの微積分の問題

数学の２次試験では、数Ⅲの分野の問題が多く出題されます。なかでも微積分に関する問題は、大学の解析学の基本となるものですから、重要視されています。
計算の面倒な問題も多いですから、丁寧に答案を書くようにしましょう。ただし、時間を忘れてはいけません。2016年最後の問題で有終の美を飾り、来るべき2017年を迎えましょう。頑張れ、受験生。

数Ⅲの微積分問題

【問題1】

$0$以上の整数$n$に対して、次の関数$f_n(x)＝x^nｅ^{1-x}$および定積分$a_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx$を考えます。

(1)　$n≧1$に対して、区間　$0≦x≦1$において、$0≦f_n(x)≦1$および　$0＜a_n<1$が成り立つことを示してください。
(２)　$a_1$を求めてください。また、$n>1$で、$a_n，a_{n-1}$の間に成り立つ漸化式を求めてください。
(3)　$e$が無理数であることを示してください。
（大阪大学）

【問題2】

定積分$\displaystyle \int_{0}^{π} (e^{-x}－ｐcosx-ｑsinx)^2 dx$　の値を最小にする実数$p,q$の値を求めてください。
（筑波大学）

【問題3】

$x≧0$を定義域とする関数列　$f_0(x),f_1(x),･･････････f_n(x),･･････････$を次のように定めます。

$f_0(x)＝1,　f_n(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x} f_{n-1}(x)/(t+1)dx　(n≧1)$

(1)　$f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)$を求めてください。
(2)　$f_n(x)$をもとめてください。
(3)　曲線$y=f_n(x)　(n≧1)$、直線$x=a(a>0)$および$x軸$で囲まれる図形の面積を$S_n(a)$とします。
このとき、次式　$S_n(a)+S_{n+1}(a)＝(a+1)/(n+1)!$を満たす$a$の値を求めてください。
(4)　無限級数　$\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} (－1)^k/k!$の値を求めてください。
（東京医科歯科大学）