微積分の問題－数Ⅲ編－

数Ⅲの微積分の問題

数学の２次試験では、数Ⅲの分野の問題が多く出題されます。なかでも微積分に関する問題は、大学の解析学の基本となるものですから、重要視されています。
計算の面倒な問題も多いですから、丁寧に答案を書くようにしましょう。ただし、時間を忘れてはいけません。2016年最後の問題で有終の美を飾り、来るべき2017年を迎えましょう。頑張れ、受験生。

数Ⅲの微積分問題

【問題1】

\(0\)以上の整数\(n\)に対して、次の関数\(f_n(x)＝x^nｅ^{1-x}\)および定積分\(a_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx\)を考えます。

(1)　\(n≧1\)に対して、区間　\(0≦x≦1\)において、\(0≦f_n(x)≦1\)および　\(0＜a_n<1\)が成り立つことを示してください。
(２)　\(a_1\)を求めてください。また、\(n>1\)で、\(a_n，a_{n-1}\)の間に成り立つ漸化式を求めてください。
(3)　\(e\)が無理数であることを示してください。
（大阪大学）

【問題2】

定積分\(\displaystyle \int_{0}^{π} (e^{-x}－ｐcosx-ｑsinx)^2 dx\)　の値を最小にする実数\(p,q\)の値を求めてください。
（筑波大学）

【問題3】

\(x≧0\)を定義域とする関数列　\(f_0(x),f_1(x),･･････････f_n(x),･･････････\)を次のように定めます。

\(f_0(x)＝1,　f_n(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x} f_{n-1}(x)/(t+1)dx　(n≧1)\)

(1)　\(f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)\)を求めてください。
(2)　\(f_n(x)\)をもとめてください。
(3)　曲線\(y=f_n(x)　(n≧1)\)、直線\(x=a(a>0)\)および\(x軸\)で囲まれる図形の面積を\(S_n(a)\)とします。
このとき、次式　\(S_n(a)+S_{n+1}(a)＝(a+1)/(n+1)!\)を満たす\(a\)の値を求めてください。
(4)　無限級数　\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} (－1)^k/k!\)の値を求めてください。
（東京医科歯科大学）