微分演算子－微分方程式を解く演算－

微分演算子について

関数\(f(x)\)の導関数は、\(ｄ/ｄｘ･f(x)\)であらわされます。このとき、\(d/dxを記号D\)を用いてあらわすことがあります。

つまり、\(Df(x)＝d/dx･f(x)＝ｆ’(x)\)をあらわしています。さらに、これをｘで微分すれば、\(ｄ^2f(x)/ｄｘ^2＝ｄ/ｄｘ･(d/dx・f(x))＝D(Df(x))＝D^2f(x)\)　とあらわすことにします。

同様にして、\(ｄ^3/dx^3f(x)＝D^3f(x)\)、\(ｄ^n/ｄｘ^n･f(x)＝D^n･f(x)\)
となります。\(ｙ＝f(x)\)なら、\(D^n･ｙ＝ｄ^n/ｄｘ^n･ｙ\)です。

微分演算子を使った計算

まず簡単な微分方程式、\(ｙ’＝２ｘ\)を考えてみましょう。これをDを使ってあらわせば、\(Dｙ＝２ｘ\)となりますここで、\(Dy\)を形式的に\(D とｙの積\)と考えれば、微分方程式は、Dで割れば、\(ｙ＝1/D･２ｘ\)となります。

Ｄは、このような計算ができる演算子と定義すれば、微分方程式を解くことができます。\(1/Ｄ･f(x)\)＝\(\int_(f(x))･dx\)と定義すると、
\(ｙ＝1/D･2ｘ\)＝\(\int_(２ｘ)dx\)＝\(ｘ^2＋C\)となり、微分方程式が解けます。Cは積分定数です。

\(D^2ｙ＝f(x)\)は、\(ｙ’’＝f(x)\)をあらわしますが、\(D^2･f(x)＝D(D･ｙ)\)ですから、\(Dy＝1/D･(1/D･f(x)\)ですから、\(ｙ＝1/D･(1/D･f(x)\)　です。

例えば、\(ｙ’’＝6ｘ\)については、
\(ｙ＝1/D･(1/D･6x)＝1/D･\int_(6ｘ)･dx＝1/D･(3ｘ^2＋C1)\)＝\(\int_(3ｘ^2+C1)･dx＝ｘ^3+C\)　となります。

このように、簡単な例で説明しましたが、微分演算子を使うと、微分方程式が、形式的な計算で解けることになります。

Follow me!