微分演算子－微分方程式を解く演算－

微分演算子について

関数$f(x)$の導関数は、$ｄ/ｄｘ･f(x)$であらわされます。このとき、$d/dxを記号D$を用いてあらわすことがあります。

つまり、$Df(x)＝d/dx･f(x)＝ｆ’(x)$をあらわしています。さらに、これをｘで微分すれば、$ｄ^2f(x)/ｄｘ^2＝ｄ/ｄｘ･(d/dx・f(x))＝D(Df(x))＝D^2f(x)$　とあらわすことにします。

同様にして、$ｄ^3/dx^3f(x)＝D^3f(x)$、$ｄ^n/ｄｘ^n･f(x)＝D^n･f(x)$
となります。$ｙ＝f(x)$なら、$D^n･ｙ＝ｄ^n/ｄｘ^n･ｙ$です。

微分演算子を使った計算

まず簡単な微分方程式、$ｙ’＝２ｘ$を考えてみましょう。これをDを使ってあらわせば、$Dｙ＝２ｘ$となりますここで、$Dy$を形式的に$D とｙの積$と考えれば、微分方程式は、Dで割れば、$ｙ＝1/D･２ｘ$となります。

Ｄは、このような計算ができる演算子と定義すれば、微分方程式を解くことができます。$1/Ｄ･f(x)$＝$\int_(f(x))･dx$と定義すると、
$ｙ＝1/D･2ｘ$＝$\int_(２ｘ)dx$＝$ｘ^2＋C$となり、微分方程式が解けます。Cは積分定数です。

$D^2ｙ＝f(x)$は、$ｙ’’＝f(x)$をあらわしますが、$D^2･f(x)＝D(D･ｙ)$ですから、$Dy＝1/D･(1/D･f(x)$ですから、$ｙ＝1/D･(1/D･f(x)$　です。

例えば、$ｙ’’＝6ｘ$については、
$ｙ＝1/D･(1/D･6x)＝1/D･\int_(6ｘ)･dx＝1/D･(3ｘ^2＋C1)$＝$\int_(3ｘ^2+C1)･dx＝ｘ^3+C$　となります。

このように、簡単な例で説明しましたが、微分演算子を使うと、微分方程式が、形式的な計算で解けることになります。

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