式の計算・式の見方－計算の工夫・解答編

式の計算の工夫の仕方

式の計算は、やればできるのでしょうが少し複雑なものや、計算のやり方が思いつかないものは、とてもやりにくいものです。ここでは、以前の記事で　難し目の問題をあげておきましたが、この問題の解答を書いておきます。

問題の解答

【問題１】

ａ、ｂ、ｃを相異なる整数とし、Ｐ(x)を整数係数の多項式とします。このとき、Ｐ(ａ)＝ｂ、Ｐ(ｂ)＝ｃ、Ｐ（ｃ)＝ａ　にはなりえない事を証明してください。（アメリカ　数学コンテスト）

【解答１】

$$Ｐ(x)＝a0x^n+a1x^n-1+･･････+an　･･････①$$　とします。ここで、a0、･････、anは整数です。条件より、

P(a)-P(b)は、a-bで整除できます。また、商が整数を係数とするaとbの多項式となることがわかりますから、

P(a)-P(b)=(a-b)Q(a,b)････････②　となります。同様にして

P(b)-P(c)=(b-c)Q(b,c)････････③

P(c)-P(a)=(c-a)Q(c,a)･････････④

②、③、④から、等式をかけて、条件式を用いると

(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(b-c)(c-a)Q(a,b)Q(b,c)Q(c,a)　となりますから、

(a-b)(b-c)(c-a)≠0で割ると、Q(a,b)Q(b,c)Q(c,a)=1となります。従ってこの3項は、2つが-1で1つが1か、３つとも1課のどちらかです。

２つが-1の場合は、Q(a,b)=-1とすれば、②から、b-c=(a-b)ｘ(-1)となり、a=cとなり条件に反します。

また、すべて１の場合は、②、③、④から

(c+a)/2=b、（a+b)/2=c、(b+c)/2=a　となりますから,a=b=cとなり、条件に反します。従って、題意は成り立ちます。

【問題２】

ａ、ｂ、ｃは相異なる数とするとき、次の式を簡単にしてください。

\(Ｉ＝a^2/{(a-b)(b-c)(x-a)}＋b^2/{(b-c)(b-a)(x-b)}＋
c^2/{(c-a)(c-b)(x-c)}\)

【解答２】

Iについて、ｆ(x)=(x-a)(x-b)(x-c)I･･････①とおきます。そうすると、

$$ｆ(x)=\frac{a^2}{(x-a)(x-b)/(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)}$$　となります。

$$f(a^2)=a^2,f(b^2)=b^2,f(c^2)=c^2$$　となりますから、g(x)=f(x)-x^2　とおくと、g(a)=g(b)=g(c)=0　となります。ここで、g(x)はxの2次式で、相異なる3つの値に対して、０になるから、g(x)は恒等的に0です。よって、f(x)=x^2となり、①より、

$$I＝\frac{x^2}{(x-a)(x-b)(x-c)}$$　となります｡･････（答）

関連記事は、下記リンクにあります。