実力演習－東工大編－

実力演習問題-東工大

東工大の問題は、年度によって変動はあるとはいえ、このような数学の問題のセットが、将来につながる数学演習なんだよ、と言うような 問題を出題してくることが多くあります。

このような問題をじっくり演習することで、実力アップできると思います。

問題例

【問題１】

３以上の奇数\(n\)に対して、\(a_n、b_n\)を次のように定めます。

\(ａ_n＝1/6･\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n-1 } (k-1)k(k+1)\)

\(b_n=(n^２－１)/8\)

(1)\(a_n,b_n\) はどちらも整数である事を示してください。

(2)\(a_n-b_n\) は、４の倍数であることを示してください。

【問題２】

\(n\)を相異なる素数、\(p_1,p_2,･････････,p_k　(ｋ≧1)\)の積とします。

\(a,b\)を\(n\)の約数とするとき、最大公約数を\(G\)、最小公倍数を、\(L\)
とし、\(f(a,b)＝L/G\)とします。

(1)\(f(a,b)がｎ\)の約数である事を示してください。

(2)\(f(a,b)＝ｂならば、a=1\)であることを示してください。

(3)\(ｍ\)を自然数とするとき、\(m\)の約数であるような素数の個数を
\(S(m)\)とします。
\(S(f(a,b))+S(a)+S(b)\) が偶数である事をしめしてください。

【問題３】

\(a＞0\)とします。曲線\(ｙ＝\exp ( x^(-ｘ^2) )\)と、\(ｘ軸、y軸\)および
直線\(x=a\)で囲まれた図形を、y軸の回りに1回転してできる回転体を、\(A\)
とします。

(1)\(Aの体積V\)を求めてください。

(2)不等式\(\sqrt{π(1-exp(e^(-x^2)}\)
≦\(\int_{-a}^{a}exp(e^(-x^2))･dx\)

を示してください。

【問題4】

\(\int_{0}^{π/2}(sin^2nｘ)/((1+ｘ)･dx\)　の　n→∞の時の極限値を
求めてください。

【問題5】

1辺の長さが、１の正三角形を底面とし、高さが２の三角柱を考えます。
この三角柱を平面で切り、その底面が３辺ともに三角柱の側面上にある直角三角形であるとします。この直角三角形の面積が撮りうる範囲を求めてください。