実力演習－東工大・解答編Ⅱ－

【解答編・東工大Ⅱ】

東工大の問題の後半の解答です。問題は、次です。実力演習－東工大－

【問題３】

\(a＞0\)とします。曲線\(ｙ＝\exp ( x^(-ｘ^2) )\)と、\(ｘ軸、y軸\)および
直線\(x=a\)で囲まれた図形を、y軸の回りに1回転してできる回転体を、\(A\)
とします。

(1)\(Aの体積V\)を求めてください。

(2)不等式\(\sqrt{π(1-exp(e^(-x^2)}\)
≦\(\int_{-a}^{a}exp(e^(-x^2))･dx\)

を示してください。

【解答３】

(1)　\(V=\displaystyle \int_{0}^{a}2πｘexp(e^(-x^2))･dx\)
＝\(π\left[exp(e^(-x^2)\right]_0^a\)
＝\(π(1－ｅ^(-a^2)\)

(2) 元問題には、点（\(t,0)　(-a≦ｔ≦a)\)を通りx軸と垂直な平面Aの切り口を
\(S(t)\)とすると、次の不等式を示してください。

と言う設問がありました。これを使って、2重積分のような計算を初等的に
することになります。やってみましょう。

【問題4】

\(\int_{0}^{π/2}(sin^2nｘ)/(1+ｘ)･dx\)　の　\(n→∞\)の時の極限値を
求めてください。

【解答４】

\(0≦ｘ≦π/2\)の区間をn等分すると、
\((ｋ－1）π/2ｎ≦ｘ≦ｋπ/2ｎ、(ｋ＝1,2,3･･････､n)\)

よって、\(1/(1＋ｋπ/2ｎ)≦1/(1+ｘ)≦1/(1+(ｋ－1）π/2n）\)･････①
となります。

①の左辺を考えます。①に\(sin^2ｘ\)をかけて、\((ｋ－1）π/2ｎ≦ｘ≦ｋπ/2\)で積分すると、

\(1/(1+ｋπ/2n)･\int_{(k-1)π/2n}^{kπ/2ｎ}(sin^2nｘ)･dx\)
≦\(\int_{(k-1)π/2n}^{kπ/2ｎ}(sin^2nｘ)/(1+x)･dx\)　であり、

\(\int_{(k-1)π/2n}^{kπ/2ｎ}(sin^2nｘ)･dx＝π/4ｎ\)　ですから、

①は\(π/4･1/n･1/(1+ｋπ/2n)\)
≦\(int_{(k-1)π/2n}^{kπ/2ｎ}(sin^2nｘ)/(1+x)･dx\)･･･････②
②から\(ｋ＝1、2、･･･････、n\)ですから、これを足して、

\(π/4･1/n･\sum_{ｋ= 1 }^{ n } 1/(1+π/2･k/n\)
≦\(\int_{0}^{π/2}(sin^2nｘ)/(1+ｘ)･dx\)･･･････③

同様にして、
\(\int_{0}^{π/2}(sin^2nｘ)/(1+ｘ)･dx\)
≦\(π/4･1/n･\sum_{ｋ= 1 }^{ n }1/(1+π/2･(ｋ－1)/n\)････④

③から、
\(\lim_{ n \to \infty } 1/n･\sum_{ｋ= 1 }^{ n } 1/(1+π/2･k/n\)
＝\(\int_{0}^{1}1/(1+π/2･ｘ)＝2/π･log(1+π/2）\)
同様に右辺も同じ値に収束します。

従って、挟み撃ちの原理から、1/2･log（1+π/2)　となります。

（ご苦労様でした。）

【問題5】

1辺の長さが、１の正三角形を底面とし、高さが２の三角柱を考えます。
この三角柱を平面で切り、その底面が３辺ともに三角柱の側面上にある直角三角形であるとします。この直角三角形の面積がとりうる範囲を求めてください。

【解答５】

正三角柱を上面をABC、下面をDEFとします。題意から、
\(AP=0,BQ=ｘ、CR=y\)とおいても一般性は失いません。
ピタゴラスの定理から、\(PR^2＝PQ^2+QR^2\)　よって、
\(1+ｙ^2＝1+ｘ^2+(y-x)^2\)　これより、
\(ｙ＝ｘ+1/2x\) であり、\(ｘ＞0、0＜ｙ≦2\)　だから、
\(2ｘ^2－4ｘ+1≦0\)　よって、\(2-\sqrt{2}/2≦ｘ≦(2+\sqrt{2})/2\)･･･①

従って、直角三角形\(PQR\)の面積を\(S\)とすると、
\(S=1/2･PQ･QR＝1/2･\sqrt{ｘ^2+1/4ｘ^2+5/4}＝f(x)\)
\(S＝f(x)\)　の　①での範囲を求めればいいことになります。
\(S’＝f'(x)＝(４ｘ^4－1)/2ｘ^3\)　から、増減表を書いて、最大最小
を求めます。計算は面倒ですが、

\(3/4≦S≦\sqrt{17}/4\)  となります。