実力演習－東工大・解答編Ⅰ－

実力演習・東工大－解答Ⅰ

実力演習の解答のうち整数解の問題の解答です。
【問題１】は計算問題ですが、【問題2】は考えにくい何を言っているのか
分かりにくい問題です。落ち着いて、考えて見ましょう。他の【問題】は別講義に
します。問題リンクです。実力演習－東工大編－

整数問題の解答

【問題１】

３以上の奇数\(n\)に対して、\(a_n、b_n\)を次のように定めます。

\(ａ_n＝1/6･\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n-1 } (k-1)k(k+1)\)

\(b_n=(n^２－１)/8\)

(1)\(a_n,b_n\) はどちらも整数である事を示してください。

(2)\(a_n－b_n\) は、４の倍数であることを示してください。

【解答１】

(1)　\((k-1)k(k+1)\)は、連続する３つの整数ですから、\(2ｘ3＝6\)
の倍数です。
よって、
\(ａ_n＝1/6･\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n-1 } (k-1)k(k+1)\)
は、整数です。

\(b_n=(n^２－１)＝(n+1)(n-1)\)　で、\(ｎ\)は奇数ですから、
\((n+1)、(n-1)\)　はともに、偶数でどちらかは、\(4\)の倍数ですから、
\((n^２－１)＝(n+1)(n-1)＝2･2･4＝16\)の倍数です。
よって、\(b_n\)は整数です。

(2)　\(a_n－b_n＝1/24･(n-2)(n-1)n(n+1)－1/8･(n-1)(n+1)\)
＝\(1/24･(n+1)^2(n-1)(n-3)\)･･･････①　となります。

\(n\)は奇数ですから、\(n=2ｋ－1、ｋは整数\)　とおけます。

①より、\(a_n－b_n＝1/24･ｋ^2･(2k－2)(2ｋ－4)\)
＝\(2/3･ｋ^2･(ｋ－1)(ｋ－2)\)　となります。
\(ｋ(ｋ－1)(ｋ－2)\)は、６の倍数です。
従って、\(a_n－b_n\)は、4の倍数となります。

【問題２】

\(n\)を相異なる素数、\(p_1,p_2,･････････,p_k　(ｋ≧1)\)の積とします。

\(a,b\)を\(n\)の約数とするとき、最大公約数を\(G\)、最小公倍数を、\(L\)
とし、\(f(a,b)＝L/G\)とします。

(1)\(f(a,b)がｎ\)の約数である事を示してください。

(2)\(f(a,b)＝ｂならば、a=1\)であることを示してください。

(3)\(ｍ\)を自然数とするとき、\(m\)の約数であるような素数の個数を
\(S(m)\)とします。

\(S(f(a,b))+S(a)+S(b)\) が偶数である事をしめしてください。

【解答１】

(1)　題意より、\(Lもnの約数\)、従って\(Gもｎの約数\)
よって、\(f(a,b)＝L/G\)は、整数で、\(ｎ\)の約数です。

(2)　題意より、\(ａ＝Ｇｍ、ｂ＝Ｇｎ\)とかけます。\(Ｌ＝Ｇmn\)
ですから、\(f(a,b)＝mn＝ｂ＝Gn\)
よって、\(G=ｍ\)　従って、\(ａ＝Ｇ^2\)で\(a,G\)は素数だから、
\(ａ＝1\)です。

(3) (2)の\(G,m,n\)を用いて、

\(S(f(a,b))+S(a)+S(b)＝S(m,n)+S(Gm)+S(Gn)\)･･････①
\(a,b\)は互いに素ですから、 \(G,m,n\)も互いに素です。

よって、①から、
\(S(f(a,b))+S(a)+S(b)＝S(f(a,b))+S(a)+S(b)\)
＝\(S(ｍ)+S(n)＋S(G)+S(ｎ)+S(G)+S(m)\)
＝\(２(S(G)+S(ｎ)+S(m)\)＝偶数