実力問題演習２－難関国立大医学部入試レベルの問題－

数学の実力演習

以前、医学部入試問題演習を行いましたが、私立大医学部入試問題の演習を行いました。これから、夏休みに入り、集中的な演習が可能だと思います。今回は、難関国立大学理系（医学部）の入試問題をやってみましょう。医学部ではやはり、目標は７割程度になるかとおもいます。

実力演習問題２・難関国立大編（時間：90分）

【問題１】
a,b,cを相異なる正の実数とします。
(1)次の2式の大小関係を比較してください。
\(a^3+b^3\)、\(a^2b+b^2a\)
(2)次の4数の大小を比較して、小さい順に並べてください。
\((a+b+c)(a^2+ｂ^2+ｃ^2)、(a+b+c)(ab+bc+ca)、                       3(a^3+b^3+c^3)、9abc\)
(3) x,y,z を正の実数とするとき、
\((y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z\) のとり得る値の範囲を求めてください。

【問題２】
空間図形において、O(0,0,0)、A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)、D(0,1,1)、E(1,0,1)、F(1,1,0)、G(1,1,1) とし、この８点を頂点とする立体をQとします。
また、P(x,y,z)、正の実数ｔに対し、次の６点(x+t,y,z)、(x-t,y,z)、（x,y+t,z)、(x,y-t,z)、(x,y,z+t)、(x,y,z-t)を頂点とする正８面体を\(α_t(P)\),その外部を\(β_t(P)\)とします。ただし、立方体及び正８面体は内部の領域も含むものとします。

(1)　0<t≦1のとき、\(Q\cap β_t(o)\capβ_t(D)\cap β_t(E)\cap β_t(F)\) の体積をｔを用いてあらわしてください。
(2) \(Q\cap α_1(O)\cap β_1(A)\cap β_1(B)\cap β_1(C)\)　の体積を求めてください。
(3) 0<t≦1 のとき、
\(Q\capβ_t(O)\capβ_t(A)\capβ_t(B)\capβ_t(C)\capβ_t(D)\capβ_t(E)\capβ_t(F)\capβ_t(G)\) の体積ｔで表してください。

【問題３】
O-xy平面において、次の円と楕円を考えます。
C:\(x^2+ｙ^2=1\)　E:\(x^2+ｙ^2/2＝1\)
また、C上の点P(s,t)におけるCの接線をｌとします。

（１）ｌの方程式を、s,tで表してください。
以下、ｔ＞0とし、Eがｌから切り取る線分の長さをLとします。
(2) Lをｔを用いて表してください。
(3) Pが動くとき、Lの最大値を求めてください。
(4) Lが(3)で求めた最大値をとるとき、ｌとEが囲む領域のうち、原点を含まない領域の面積をAとするとき、Aを求めてください。

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