学力テスト問題－解答編その１－

数学の基礎問題－その１－

数学では、基礎のマスターがとても重要です。実力をみるためによい問題をやってみましょう。重要な基礎に関連する問題ばかりです。しっかりやってみましょう。６割～7割以上とれるよう頑張ってみてください。問題は次のリンクです。学力テスト-その１-

基礎問題1

【問題1】

\(a>b>1\)であるとき、\(x+by≧1，ax+y≧1、bx+ay≧1\)を満たす範囲で、\(z=x+y\)の最小値を求めてください。

【解答1】

答え：\((a+b－2)/(ab－1)\)
\(a>b>1\)のもと、３つの領域を図示し、どこで最小値をもつか考えましょう。

【問題2】

\(\sqrt{x}+\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{1-x}\)である\(x\)の関数の\(0≦ｘ≦1\)における最大値、最小値を求めてください。

【解答2】

いろいろな方法があると思います。微分して調べるのは基本的ですが、ここでは、数Ⅰ的に解いてみましょう。

\(t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)とおきます。\(0≦x≦1\)で
\(t^2＝1+\sqrt{1/4－(x-1/2)^2}\)から、\(0≦t≦\sqrt{2}\)
与えられた式を、\(y=f(x)\)とすると、\(y=f(t)＝1/2･(t+1)^2－1\)
よって、\(f(1)≦y≦f(\sqrt{2})\)
最小値は、\(1+2\sqrt{2})/2\)　最大値は、\(1\)

【問題3】

\(z\)についての、2次方程式　\(z^2－2az+1=0\)の解を、\(z=x+iy\)とおきます。定数\(a\)が、全ての実数を動くとき、
\(P(x,y)\)のえがく曲線\(C\)を求めてください。

【解答3】

\(z≠0\)は明らかだから、与えられた式を\(a\)について解くと、\(a＝(z^2+1)/2z\)です。
\(a\)は実数ですから、\((z^2+1)/z＝\overline{(z^2+1)/z}\)
これを整理すると、\((z\bar{z}－1)(z－\bar{z})=0\)
よって、\(z\bar{z}＝1，z=z\bar{z}\)
\(z≠0\)を考えて、中心原点で半径\(1\)の円及び実軸（原点を除く）

【問題4】

\(x,y,z\)が次数であるとき、\(F=(yz+zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)\)　の最大値と最小値を求めてください。

【解答4】

\(x+y+z)^2＝x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\)
\(x^2+y^2≧2xy、y^2+z^2≧2yz，z^2+x^2≧2zx\)
より、\(-1/2･(x^2+y^2+z^2)≦yz+zx+xy≦x^2+y^2+z^2\)
従って、\(F\)の最大値は　\(1\)、最小値は　\(－1/2\)

【問題5】

周の長さが、一定値\(a\)である直角3角形において、直角をはさむ2辺の積が最大になるときの３辺の長さを求めてください。

【解答5】

色々な解き方があると思います。３辺をどう置くかが解答の処理速度に影響します。

ここでは、３角関数で解いてみましょう。

直角３角形の１つの鋭角を\(θ\)とすると、その比は、\(1,sinθ,cosθ\)となるから、直角をはさむ2辺は、
\(asinθ/(1+sinθ+cosθ)，acosθ/(1+sinθ+cosθ)\)
\(t＝sinθ+cosθ\)とおくと、\(1<t≦\sqrt{2}\)
よって、\(sinθcosθ/(1+sinθ+cosθ)^2＝(t-1)/2(t-1)＝1/2－1/(1+t)\)
これは、\(t=\sqrt{2}\)のとき最大値をとり、このとき\(θ＝45°\)の直角２等辺３角形

(注）直角をはさむ2辺を、\(x,y\)、斜辺を\(z\)とおいても2次方程式論で解けますが、少し厄介です。