大村特別栄誉教授ノーベル賞受賞記念－北里大医学部入試解答－

大村特別栄誉教授ノーベル医学・生理学賞受賞記念

北里大学は、大村教授のノーベル医学生理学賞の受賞から、人気が出るかもしれません。私立大医学部の動向にも十分注意すべきだと思われます。
問題等のリンクは次にあります。大村北里大特別栄誉教授・ノーベル賞特別記念

大村特別栄誉教授ノーベル賞受賞記念/

－北里大医学部入試問題解答－

【問題１】

(注)　【問題1】は、センター方式であり、答えのみを記入する方式で
す。ここでは、記述式に修正しています。

(1)  \(k\)を実数とするとき、方程式\(\sqrt{4X－3}=ｘ+ｋ\)の実数
解が2個になる\(k\)の値と１個になる\(k\)の値を求めてください。

また、曲線\(y=\sqrt{4x－3}\)　と直線　\(y=x\)で囲まれた部分
を、x軸の回りに回転したときの体積をもとめてください。

(2)　曲線\(y=kｘ^2－1\)と曲線\(y=logｘ\)が共有点をもち、その点
で共通の接線を持つときの、\(k\)を求めてください。また共通の
接線の方程式を求めてください。

(3)　数列\({ａ_n}\)の初項から\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると
き、\({ａ_n}\)は、\(ａ_1＝1,ａ_{n+1}＝S_n+ｎ^2+1\)
\((n=1,2,3,･･･････)\)を満たすとします。

このとき、\(ａ_1、ａ_n、S_n\)を求めてください。

(4) \(△ABC\)において、\(AB=3、AC=4、∠A＝π/3\)とします。
\(△ABC\)の外心を\(O、\overrightarrow{ AB }＝\vec{ ｂ }、
\overrightarrow{ AC}＝\vec{ｃ}\)とします。

①　\(△ABC\)の外接円の半径を求めてください。
②　\(\overrightarrow{AO}を\vec{ ｂ }、\vec{ ｃ }\)で表して
ください。
③　直線\(BOと辺AC\)の交点を、\(P\)とするとき、\(AP:AC\)を
求めてください。

(5)　\(X君とYさん\)は、毎日正午に次の規則に従って食事を取ります。
①　\(食堂A,食堂B、食堂C\)のいづれかで食事をとります。
②　食堂は、前日とは異なる2つのうちの１つを無作為に選びます。
③　2人が同じ食堂を選んだ日は、必ず一緒に食事をします。

1日目には２人は別々の食堂で食事を取ったとします。このとき、
３日目に初めて２人が一緒に食事をとる確率を求めてください。
また２人が一緒に食事をとる日が７日目になる確率を求めてください。

【解答１】

この問題は小問集合ですので、解答を書いておきます。それほど難しくはありません。

(1)　①　\(－3/4≦ｋ＜1/4\)　②\(ｋ＜-3/4,ｋ＝1/4\)　③\(4/3π\)
(2)   ④　\(e^2/3 \)　⑤\(\sqrt[3]e^2－5/3\)
(3)　⑥\(23\)　⑦\(2^{n+1}－2ｎ－１\)　⑧\(2^{n+2}－ｎ^2－2ｎ－4\)
(4)　⑨\(\sqrt{39}/3\)　⑩　\(2/9\)　⑪　\(5/12\)　⑫　\(15：13\)
(5)　⑬\(3/16\)　⑭　\(189/2048\)

【問題２】

\(k\)は定数とします。楕円\(x^2/4+y^2＝1\)と直線\(x+\sqrt{3}＝
ky\)　の共有点を\(P,P’\)とします。楕円の焦点を\(F(\sqrt{3},0)、
F'(－\sqrt{3},0)\)とするとき、

(1)　\(△PP’F\)の面積を\(ｋ\)を用いて表してください。
(2)　\(△PP’F\)の内接円の半径を最大にする\(ｋ\)の値を求めてくだ
さい。

【解答２】

(1)　楕円と直線の共有点のｙ座標は,\((k^2+1)ｙ^2－2\sqrt{3}ky－1＝0\)の解で
す。この判別式を\(D\)とすれば、\(D/4=3ｋ^2+(ｋ^2+3)＞0\)より相異なる
これを\(α、β\)とすると、解と係数の関係から、\(α+β＝2\sqrt{3}k/(ｋ^2+4)
\)　,\(αβ＝－１/(ｋ^2+4)\)･････････①
\(P(ｋα－\sqrt{3},α）P’＝(ｋβ－\sqrt{3},β）\)　となります。
よって、\(△PP’F\)＝1/2･\(\vert{(ｋα－2\sqrt{3})β－α(ｋβ－2\sqrt{3})}\vert\) ＝\(\sqrt{3}\vert(α－β)\vert\)
ここで、①から\(\vert(α－β)\vert＝4\sqrt{ｋ^2+1}/(ｋ^2+4)\)となり、
\(△PP’F＝4\sqrt{3}\sqrt{ｋ^2+1}/(ｋ^2+4)\)

(2) \(△PP’F\)の内接円の半径を \(r\) とします。\(△PP’F＝r/2･(FP+FP’+PP’)\)･･②
\(FP+FP’+PP’＝FP+FP’+PF’+F’P’\)で\(P,P’\)は、\(x^2/4+y^2＝1\)上の点です から、\(FP+F’P=4,FP’+F’P’=4\)　よって、\(FP+FP’+PP’＝8\) から、②より、 \(4ｒ＝△PP’F＝4\sqrt{3}\sqrt{ｋ^2+1}/(ｋ^2+4)\)となります。従って、 \(ｒ＝\sqrt{3}\sqrt{ｋ^2+1}/(ｋ^2+4)\)、\(dr/dk\)を求め増減表を書くと、 \(ｒ\)の最大値は、\(1/2\)となります。

【問題３】

実数全体を定義域とする関数\(f(x)\)は奇関数で、微分可能であるとし
ます。さらに、\(ｆ’(x)\)も微分可能であり、\(ｆ’(0)＝0\)で、\(x>0
\)で\(ｆ’’(x)>0\)とします。\(y=f(x)\)の曲線を\(C_1)\)、\(C_1)
\)をｘ軸方向に\(a\)、y軸方向に\(f(a)\)平行移動した曲線を、\(C_2\)
とします。ただし、\(a＞0\)とします。

(1)\(f(0)\)の値を求めてください。

(2)\(f'(x)\)は、偶関数であることを示してください。

(3)\(C_1とC_2\)で囲まれる図形の面積を\(S(a)\)とします。\(a　が、
０＜ａ≦3\)の範囲を動くとき、\(S(a)を最大にするa\)の値を求めてください。

【解答３】

(1) \(f(x)\)は奇関数で、原点対称だから,\(f(0)＝0\)
(2) \(f(-x)＝－f(x)\)から、\(ｆ'(－x)＝f’(x)\)より、ｆ’(x)は偶関数です。
(3)\(C_2は、C_1をx軸方向にａ、ｙ軸方向にf(a)\)平行移動したものですから、
\(C_2は、ｙ＝f(x-a)+f(a)\)、\(g(x)＝f(x-a)+f(a)－f(x)\)とおくと、
\(ｇ'(x)＝f’(x-a)-ｆ'(x)\)で(2)より\(ｆ'(x)\)は偶関数だから、\(g'(x)＝0となる
のは、ｘ＝a/2\) よって、\(ｘ＞0でf”(x)＞0だから、ｆ’(x)\)単調増加関数です。
\(ｘ＞a/2、ｘ＜a/2のg'(x)\)の符号は、それぞれ単調減少、単調増加になりますから、\(g(x)\)は上に凸の関数であり、\(g(0)＝g(a)＝0\)だから、\(C_1,C_2\)の交点は、\(ｘ＝0、ｘ＝a\)です。
よって、\(S(a)＝\displaystyle \int_{0}^{a} ｇ(x) dx＝af(a)－F(a)－F(-a)\)
\(ここで、F(X)はｇ(ｘ)の原始関数です。\)　\(d/da･S(a)＝af'(a)－f(a)\)
\(ｄ^2/da^2･S(a)＝af”(a)≧0\)　これから、\(d/da・S(a)≧0\)だから、\(S
(a)は0≦a≦3\)で単調増加になります。よって\(S(a)が最大になるのは,a=3\)