夏期演習問題－解答編－

夏期講習

期末テストもほぼ終わり、もうすぐ夏休みですね。７月～８月の夏休みは、実力アップ、総復習のチャンスです。この時期の集中的な勉強で秋以降の大きな飛躍をする人も多いようです。熱いですが、健康にも気をつけて、計画的に計画を進めていきましょう。解答を書いておきます。

夏期演習問題

【問題1】

\(0<a<1\)のとき、\(x\)に関する\(2\)次方程式　\(x^2＋ax－a=0\)　の2つの解は
\(c,c^2,c^3\)のうちにあります。\(a\)と\(c\)の値を求めてください。
(慶応大　薬）

【解答1】

\(0<a<1\)より与えられた2次方程式は、正負の２つの実解をもち、正の解は\(1\)より小さいことがわかります。
ⅰ)　\(c\)が解の1つのとき、実数でなければならないから、\(c\)と\(c^3\)は同符号の実数、よって他の解は\(c^2\)
従って解と係数の関係から、
\(ｃ＋c^2＝－a、c･c^2＝－a\)
これより、\(c=(1-\sqrt{5})/2\)　に限り、\(a=\sqrt{5}－1\)

ⅱ)　\(c^2、c^3\)が2解のとき、これらは異符号の実数でなければならないから、
\(c\)は負の実数です。
また、\(c^2+c^3＝c^5＝－a\)となります。
条件を考慮して、\(c=(1－\sqrt{5})/2，a=\sqrt{5}-2\)

【問題2】

\(xy+yz+zx=1\)を満たす実数\(x,y,z\)は、\(x+y+z=xyz\)を満たさないことを証明してください。
（滋賀大）

【解答2】

\(x,y,z\)を３つの解とする3次方程式を考えると、
\(x+y+z=xyz=k\)とすれば、
\(t^3-kt^2+t-k=\)　の３つの解であり、
\((t^2+1)(t-k)=0\)となりますから、題意の成立は明らかです。

【問題3】

\(tanx+tan2x＝tan3x\)を解いてください。
（京都府医大）

【解答3】

\(sinx/cosx+sin2x/cos2x＝cos3x/sin3x\)

よって、\(cosx･cos2x･cos3x≠0\)
かつ　\(cos3xsin3x＝sin3xcosxcos2x\)
⇔　\(sin3xsin2x=0\)

これより、\(x=nπ/3\)　n:整数

【問題4】

\(I_n＝\displaystyle \int_{0 }^{π/4}tan^nx dx\)　　\(n=2,3,････････\)　とするとき

\(1/(2(n+1)<I_n<1/(2(n-1)\)　であることを証明してください。

【解答4】

部分積分により、\(I_{n+2}＝1/(n+1)－I_n\)･･･････①

ここで、\(0≦x≦π/4\)では、\(0≦tanx≦1\)だから、
\(tan^{n+2}x≦tan^nx≦tan^{n-2}x\)が成り立ちます。
（等号は、端点のみです。）
よって、
\(\displaystyle \int_{0 }^{π/4}tan^{n+2}x dx＜\displaystyle \int_{0 }^{π/4}tan^nx dx\)
\(<\displaystyle \int_{0 }^{π/4}tan^{n-2}x dx\)
ここで、①を用いると
\(I_{n+2}＜I_n＜I_{n-2}\)　から、
\(1/(2(n+1)<I_n<1/(2(n-1)\)　が成り立ちます。

【問題5】

\(x\)は正の数で、適当な正の数　\(a\)をとると、\(ax、aqx^2、ax^3、ax^4\)の整数部分の桁数を、
\(5,7,9,12\)にすることが出来ます。\(x\)のとり得る値の範囲を求めてください。
（早稲田大）

【解答５】

条件は、
\(４≦loga+logｘ<5\)
\(6≦loga+logｘ<7\)
\(8≦loga+logｘ<9\)
\(11≦loga+logｘ<12\)
ここで、\(A=loga,X=logx\)とおくと、
\(4-X≦A＜5-X\)
\(6-2X≦A＜7-2X\)
\(8-3X≦A＜9-3X\)
\(11-4X≦A＜12-4X\)
これらの解が存在する条件を求めると、
\(2＜X<5/2\)
となりますから、\(100＜ｘ＜100\sqrt{10}\)