変数変換のテクニック

計算をうまく運ぶ大切な技術

式の計算で変数変換を上手く使うと、楽に問題が解ける場合が多くあります。ここでは、そのような技術をあげてみましょう。

変数変換の技術

例題と指針を示しておきますから、実際に解いてみてください。変数変換の解法がわかってくると思います。

【例1】

連立方程式\(\vert x+y \vert+\vert x-y \vert＝3、x^2+y^2＝5/2\)　を求める。

\(\vert x+y \vert=u、\vert x-y \vert＝v\)　とおけばよい。

【例2】

連立方程式　\(x+y＝8+\sqrt{x}+\sqrt{y}，\sqrt{xy}＝\sqrt{x}+\sqrt{y}+1\)　を求める。

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=u，\sqrt{xy}＝v\)とおけばよい。

【例3】

次の関数の最小値を求める。
\(x(x+2)(x+a)(x+a+2)\)

\(x^2+(a+2)＝u\)　とおけばよい。

【例4】

\(x^2+y^2＝1\)のとき、\(x^2-y^2+2\sqrt{3}xy\)の最大または最小とする\(x,y\)を求める。

\(x=cosθ，y=sinθ　(0≦θ<2π）\)　とおけばよい。

【例5】

\(x,y\)の関数　\(z=x^2+xy+y^2-3x-3y\)の最小値を求める。

\(x+y＝u，x-y＝v\)　とおけばよい。　または、\(x+y=u、xy=v\)とおけばよい。