国立大学問題演習－解答編－

国立大学入試問題

本番まであと数日になりました。最後の最後まで気を抜かないで頑張りましょう。

国立大学入試問題演習

【問題1】

自然数　\(a,b\)　は共に　\(3\)　で割り切れないが、\(a^3+b^3\)　は　\(81\)　で割り切れるとします。このような、\(a,b\)　のうち
\(a^2+b^2\)　を最小にする　\(a,b\)　の値と　\(a^2+b^2\)　の最小値を求めてください。（京都大学）

【解答1】

\(a^3+b^3＝(a+b)^3－3ab(a+b)\)　が　\(3\)　で割り切れるから、\(a+b\)　は　\(3\) 　で割り切れます。
よって、\(a+b=3k　k自然数\)　\(a^3+b^3=9k(3k^3－ab)\)　(\(a,b≠３の倍数)\)　より
よって、\(k=9の倍数\)　であることが必要十分。すなわち　\(a+b=27の倍数＝l\)
\(a^2+b^2＝a^2+(l-a)^2＝2(a-l/2)^2+1/2l^2\)　
ここで、\(aとｌ/2\)　が近いほど小さくなります。\(ｌ＝27\)　のとき　\((a,b)＝(13,14)、(14,13)\)
これ以外は最小になりません。

【問題2】

\(a_1=1\)　として、\(n=1,2,3,･････････\)　に対して、点　\(P_n(a_n,0）\)　を通り　曲線　\(y=e^x+1\)　に接する接線の　\(x\)座標を、\(a_{n+1}\)　とします。
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n+1}－a_n)\)　を求めてください。（京都大学）

【解答2】

\(a_n\)＝\(a_{n+1}－e^{-a_n+1}－1\)
よって、\( a_{n+1}－a_n ＝e^{-a_n}+1\)　････････①
これより、\(a_{n+1}-a_n>1\)
従って、\(a_n>n\)　から　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n＝∞\)
①より、 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n+1}－a_n)＝1\)

【問題3】

\(x,y\)　を整数とします。\(x^3－y^3＝65\)　を満たす　\(x,y\)　を求めてください。
（京都大学）

【解答3】

\((x-y)(x^2+xy+y^2)＝5･13\)　　　　　　
\( x^2+xy+y^2\)＝\((x+y/2)^2+3/4y^2≧0\)　また　\(x≠0,y≠0\)　だから
\(x－y>0,x^2+xy+y^2>0\)　　
これから、2つの積の場合を考えて
\((x,y)＝(1,-4),(4,-1)\)

【問題4】

\(－π/2＜ｘ＜π/2\)　で定義された関数　\(f(x)\)　が　\(f(x)･cos^2x＝π－ｘ/log2･ \displaystyle \int_{0}^{π/3} f(t) dt\)　を満たすとき、\(f(x)\)　を求めてください。 （横浜国大）

【解答4】
\( \displaystyle \int_{0}^{π/3} f(t) dt＝ｃ\) とおくと
\(f(x)･cos^2x＝π－c･ｘ/log2 \)

よって、\(c= \displaystyle \int_{0}^{π/3} ･1/cos^2x(π－c･ｘ/log2) dt \)
積分して
\(c=\sqrt{3}π－\sqrt{3}π/3log2+c\)
よって、\(c=3log2\)

【問題5】

（１）定積分　\(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{π/2}} x^3cos(x^2) dx \)　を求めてください。
（２）\(0<x<1\)　のとき　\(((x+1)/2)^{x+1}<ｘ^x\)　が成り立つことを示してください。
　　（横浜国大）

【解答5】

（１）\(x^2＝t\)　で置換積分する。
　　　\(π/4－1/2\)
（２） \(((x+1)/2)^{x+1}<ｘ^x\) ⇔\(log((x+1)/2)^{x+1}<xlogx\)
　　ここで　\(f(x)＝xlogx- (log((x+1)/2)^{x+1} \)　とおくと
　　\(f'(x)＝log2x－log(x+1)<0\)　\((0<x<1)\)
　　また、\(f(1)＝0\)　より　\(f(x)＞０\)