国立大学入試問題演習

国立大学入試問題

本番まであと数日になりました。最後の最後まで気を抜かないで頑張りましょう。

国立大学入試問題演習

【問題1】

自然数　\(a,b\)　は共に　\(3\)　で割り切れないが、\(a^3+b^3\)　は　\(81\)　で割り切れるとします。このような、\(a,b\)　のうち
\(a^2+b^2\)　を最小にする　\(a,b\)　の値と　\(a^2+b^2\)　の最小値を求めてください。

【問題2】

\(a_1=1\)　として、\(n=1,2,3,･････････\)　に対して、点　\(P_n(a_n,0）\)　を通り　曲線　\(y=e^x+1\)　に接する接線の　\(x\)座標を、\(a_{n+1}\)　とします。
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n+1}－a_n)\)　を求めてください。

【問題3】

\(x,y\)　を整数とします。\(x^3－y^3＝65\)　を満たす　\(x,y\)　を求めてください。

【問題4】

\(－π/2＜ｘ＜π/2\)　で定義された関数　\(f(x)\)　が　\(f(x)･cos^2x＝π－ｘ/log2･ \displaystyle \int_{0}^{π/3} f(t) dt\)　を満たすとき、\(f(x)\)　を求めてください。

【問題5】

（１）定積分　\(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{π/2}} x^3cos(x^2) dx \)　を求めてください。
（２）\(0<x<1\)　のとき　\(((x+1)/2)^{x+1}<ｘ^x\)　が成り立つことを示してください。

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