図形と計量　－空間図形は頻出です－

図形と計量

平面図形にせよ、空間図形にせよ、図形に関する問題はよく出題されるところです。
平面図形では、三角形、四角形やその内接円、外接円がよく取り上げられます。正弦定理、余弦定理や方べきの定理などがよく使われる定理だと思います。空間図形では、４面体がよく出題されています。

正弦定理、余弦定理

３角形ABCにおいて、角A,B,Cに対応する辺の長さを、a,b,cとし、外接円の半径をRとすると、
a/sinA＝ｂ/sinＢ＝c/sinC＝２R　が正弦定理です。
また、余弦定理は、
\(a^2＝b^2+c^2－2bccosＡ\)
\(b^2＝ｃ^2+a^2－2cacosB\)
\(c^2=ａ^2+ｂ^2－2abcosC\)
となるのは、基本的です。また内接円の半径をrとすると、内接円の中心をIとすれば、△ABC＝1/2･r･(△ABI+△BCI+△CAI）から内接円の半径ｒを求めることができます。

図形と計量に関する問題

【問題１】
△ＡＢＣは鋭角三角形とします。このときすべての面が△ＡＢＣと合同な４面体が存在することを証明してください。

【問題2】
1辺の長さが3の正４面体ＡＢＣＤがあり、辺ＢＤを2：1内分する点をＥとします。点Ｐが辺ＢＣ上を動き、点Ｑが辺ＣＤを動くとします。
(1)線分ＡＰ，ＰＱ，ＱＥの長さの和の最小値を求めてください。
(2)このとき、４面体ＡＰＱＥの体積を求めてください。

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