問題演習－難関国立大理系－

難関国立大理系数学演習

今年の夏休みも、もうすぐ終わりますね。受験生は色々な科目の勉強で大変だとは思いますが、夏休みのまとめも含めて、国立難関大学理系の数学の問題演習をやってみましょう。大体の難関国立大学は、６問で１５０分の問題になっています。
制限時間にも注意する必要がありますが、まずは問題を解くことに（解けること）に主眼をおいて演習をしてみてください。

難関国立大・問題演習

難関国立大・理系の問題演習をして見ましょう。（東京大学　１５０分）

【問題１】

\(S\)を中心Ｏ、半径\(a\)の球面とし、\(N\)を\(S\)上の１点とします。点Ｏにおいて
線分ＯＮと\(π/3\)の角度で交わる一つの平面上で、点\(P\)が点Ｏを中心とする等速円運動をしているとします。その角速度は、\(π/12\)で、\(ＯＰ＝4a\)　とします。

点\(N\)から点\(P\)を観測するとき、\(Ｐ\)は見え初めてから何秒見え続けるか、また
\(P\)が見え始めた時点から見えなくなる時点までの、\(NP\)の最大値及び最小値を
求めてください。
ただし、球面\(S\)は、不透明であるものとします。

【問題２】

\(x_1,x_2,･･･････････,x_n\)はおのおの\(0,1,2\)のどれかの値をとるものとします。

\(f_1＝\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x_i\)　 \(f_2＝\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n }( x_i)^2\)
のとき、
\(f_k＝\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n }( x_i)^k\)　\((k=1,2,3････）\)　を

\(f_1、f_2\)とを用いてあらわしてください。

【問題３】

区間　\(1≦ｘ≦3\)において、次のように定義された関数\(f(x)\)があるとします。

\(f(x) =1　（1≦ｘ≦2)\)
\(f(x)＝ｘ－1（2≦ｘ≦3)\)

実数\(a\)に対して、区間　\(1≦ｘ≦3\)における関数 \(f(x)－ａｘ\) の最大値から
最小値を引いた値を \(V(a)\)とおきます。このとき以下の問いに答えてください。

(1)\(ａ\)がすべての実数にわたって動くとき、\(V(a)\)　の最小値を求めてください。

(2)\(V(a)\)の最小値をとる\(ａ\)値を求めてください。

【問題４】

平面上に1辺の長さが１の正方形 \(S\) があるとします。この平面上で\(S\)を平行移動して得られる正方形で,　点\(Ｐ\)を中心に持つものを\(T(P)\)とします。

このとき、共通部分　\(S \cap T(P)\) の面積が\(1/2\)以上になる範囲を求め、その面積を求めてください。

【問題５】

\(t\)は１より大きい実数とします。\(xy\)平面において、不等式

(1)\(0≦ｘ\)
(2)\(ｔ/ｘ(1+ｔ^2)≦ｙ≦1/(1+ｘ^2)\)

を同時に満たす点\((x,y)\)全体の作る図形の面積を\(ｔ\)の関数と考え、\(f(t)\)
とします。\(f(t)\)の導関数\(ｆ’(t)\)を求めてください。

【問題６】

ｘのある２次関数のグラフが、原点において\(y=x\)に接するものとします。
このグラフ上の点\((u,v)\)における接線の傾きを、\(u,v\)であらわしてください。
ただし、\((u,v)\)は原点ではないとします。