古典数学から現代数学－問題の解答編－

数学の歴史の問題の解答です。

問題は、以下のものでした。

ａをａ＞１の実数とするとき、ａ^xは、ｘの整式として表せない事を証明してください。

【解答】

ａ^xがｘの整式で表されたとすると、

ａ^x＝f(x)＝ｂ0・ｘ^n+ｂ1・ｘ^(n-1)+ｂ2・ｘ^(n-2)+･････+ｂn

ｂ0≠０　ｂiは定数　とかけます。

これは、恒等式ですから、任意の正整数ｍに対して成り立ち、

ａ^m＝f(m)＝ｂ0･ｍ^n+ｂ1・ｍ^(n-1)+･･････+ｂｎ　･･････①　が成り立ちます。

ここで、ａ－１＝ｐ＞０とおくと、ａ＝ｐ＋１ですから、

ａ^m＝（１+ｐ）^m＝mＣ0+nＣ1ｐ+･････････+mＣmｐ^m

各項は正ですから、

ａ^n＞mＣn+1・ｐ^n+1=n･(n-1)･･････(m-n)｝/(n+1)！・ｐ^n+1････②

よって、①、②から、

｛ｂ0+ｂ1･1/n+･･････+ｂn･(1/n)^n｝･1/n＞1/(m+1)！(1-1/n)･････(1-n/m)･ｐ^n+1　････････③

③は、ｍ≧ｎ+1を満たす全ての整数について成り立つから、ｍ→∞とすれば、　０≧1/(ｎ+1)！･ｐ^n+1（＞0）　となり、不合理です。

従って，ａ^xはｘの整式として表すことは出来ません。

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