入試最前線・合格への道－解答編－

合格への道

2018年もセンター試験が終わり、いよいよ受験本番です。入試までには、自分の不得意なところをきちんと復習しておきましょう。いずれにしても、これからの試験では、センター試験数ⅠA,数ⅡBより難易度の高い問題を出す大学が多くありますので、特に難関大学志望の方は、数学的な勘や嗅覚をみがいておきましょう。ここでは、やや考えにくい問題や難し目の問題をやってみましょう。

直前演習問題

【問題1】

\(a,b,c,d,e,f\)　を自然数とし、集合\(A,B\)を次のように定めます。

\(Ａ＝(a,b,c,d,e,f),B=(a^2,b^2,c^2,d^2,e^2,f^2)\)

また、次の条件が成り立っているものとします。

条件１：集合\(A\)の各要素は、\(a<b<c<d<e<f\)の関係が成り立ちます。
条件2：\(A \cap B={c,d,f}\)であり、これらの要素のうち奇数であるものは、\(d\)だけだとします。
条件3：\(B\)の全ての要素の和は、\(487\)とします。

(1)　\(A\)の要素　\(c,d,f\)が集合\(B\)のどれになるか推論してください。
(2)　集合\(A\)の要素を全て決定してください。

【解答１】

（１）\(1≦a<b<c<d<e<f\)　より　\(a<a^2<b^2<c^2<d^2<e^2<f^2\)
さらに、\(c<c^2<d^2<e^2<f^2\)から、\(c=a^2　or　b^2\)
同様にして、\(d=b^2　or　c^2\)　\(f=c^2,d^2,e^2\)
\(d=c^2\)とすれば、条件２に反します。よって、\(d=b^2\)
従って、\(c=a^2\)　また、\(f=c^2,e^2\)となります。

（答）\(c=a^2,d=b^2,f=ｃ^2,e^2\)

(2)　(1)より、
ⅰ)　\(f=c^2\)のとき\(B=(a^2､b^2,a^4,b^4,e^2,a^8)\)となります。
ここで、条件３より、\(a^2+b^2+a^4+b^4+e^2+a^8＝487\)･･･････①　であり、
\(c\)が偶数だから、\(a\)も偶数です。ここで、\(a≧4\)なら、\(a^8＝196^2＞487\)
よって、\(a=2\)です。このとき、①は、
\(4+b^2+16+b^4+e^2+256＝487\)　また、\(b\)は奇数ですから、同様に\(b=3\)
従って、\(e^2＝121\)　よって、\(e=11\)

ⅱ）\(f=e^2\)のとき
\(a^2+b^2+a^4+b^４+e^2+e^4＝487\)
\(b\)奇数ですから、\(b=3\)
\(a^2+9+a^4+81+e^2+e^4＝487\)
\(b=3\)で\(c,e、f\)は偶数だから、\(4≦c、6≦e\)
\(e=8\)なら不適、よって\(e=6\)となるが、これも不適

よって、\((a,b,c,d,e,f)＝(2,3,4,9,11,16)\)
【問題2】

\(ｎ\)を自然数とします。
\(8^n\)を\(11\)で割った余りが\(3\)となるものの自然数の集合を\(A\)
\(11^n\)を\(17\)で割った余りが\(4\)となる自然数の集合を\(B\)とします。

\(A \cap B\)の要素\(m\)の一般形を求め、最小となる要素を求めてください。

【解答2】

\(8^n\)を　\(mod 11\)　で考えます。
\(8≡8,8^2≡9,8^3≡6,8^4≡4,8^5≡10,8^6≡3,8^7≡2,８^8≡5,8^9≡7,8^{10}≡1\)
よって、\(8^{n+10}≡8^n\)であり、\(11\)で割って\(3\)余るのは、
\(n=10k+6\)となります。\(k≧0の整数\)
また、同様にして、\(11^n\)を\(mod 17\)　で考えると
\(11^{n+16}≡11^n\)となり、\(11^4≡4\)ですから、
\(n=16l+4\)　\(l≧0の整数\)

\(A \cap B\)だから、\(10k+6＝16l+4\)
よって、\(8l－5k＝1\)
\(8(l－2)＝5(k－3)\)より　\((l,k)＝(5m+2,8m+3)\)であり、
\(n=10k+6=80m+36\)　\(m≧0の整数\)
よって、最小になるのは、\(m=0\)で、\(n=36\)･････(答)

【問題3】

\(27^{1000}\)の下5桁の整数を求めてください。

【解答3】

\(27^{1000}＝81^{750}＝(80+1)^{750}\)ですから
あとは、2項定理で\((80+1)^{750}＝\displaystyle \sum_{k= 0 }^{750} {}_{750} \mathrm{ C }_k80^ｋ・1^{750-k}\)
＝\(\displaystyle \sum_{k= 0 }^{750} {}_{750} \mathrm{ C }_k80^ｋ\)
から、\(ｋ＝0,1,2,3,4\)の項の係数を計算すればよいです。

【問題4】

\(△ABC\)において、\(AB=3,BC=4CA=5\)とします。また、\(∠ACB＝θ\)とします。
以下を示してください。

(1)\(30°<θ<40°\)
(2)\(θ>36°\)
(3)\(nθ＝30°+360°・m\)を満たす整数\(n,m\)は存在しません。

【解等4】

(1)　\(∠C=θ\)とします。\(sinθ＝3/5>1/2\)ですから、\(30°<θ<90°\)
また、\(sin3θ＝3sinθ－4sin^3θ=117/125\)
\(117/125>\sqrt{3}/2\)より、\(sin3θ>\sqrt{3}/2\)
から、\(30°<θ<40°\)

(2)　\(cos3θ=4cos^3θ－3sinθ＝7/25\)
また、\(sin5θ＝－237/(125･25)<0\)
よって、(1)を使うと、\(150°<θ<200°\)で\(180°<5θ\)から、
\(36°＜θ\)

to be continued