入試最前線・合格への道－解答編－

合格への道

2018年もセンター試験が終わり、いよいよ受験本番です。入試までには、自分の不得意なところをきちんと復習しておきましょう。いずれにしても、これからの試験では、センター試験数ⅠA,数ⅡBより難易度の高い問題を出す大学が多くありますので、特に難関大学志望の方は、数学的な勘や嗅覚をみがいておきましょう。ここでは、やや考えにくい問題や難し目の問題をやってみましょう。

直前演習問題

【問題1】

$a,b,c,d,e,f$　を自然数とし、集合$A,B$を次のように定めます。

$Ａ＝(a,b,c,d,e,f),B=(a^2,b^2,c^2,d^2,e^2,f^2)$

また、次の条件が成り立っているものとします。

条件１：集合$A$の各要素は、$a<b<c<d<e<f$の関係が成り立ちます。
条件2：$A \cap B={c,d,f}$であり、これらの要素のうち奇数であるものは、$d$だけだとします。
条件3：$B$の全ての要素の和は、$487$とします。

(1)　$A$の要素　$c,d,f$が集合$B$のどれになるか推論してください。
(2)　集合$A$の要素を全て決定してください。

【解答１】

（１）$1≦a<b<c<d<e<f$　より　$a<a^2<b^2<c^2<d^2<e^2<f^2$
さらに、$c<c^2<d^2<e^2<f^2$から、$c=a^2　or　b^2$
同様にして、$d=b^2　or　c^2$　$f=c^2,d^2,e^2$
$d=c^2$とすれば、条件２に反します。よって、$d=b^2$
従って、$c=a^2$　また、$f=c^2,e^2$となります。

（答）$c=a^2,d=b^2,f=ｃ^2,e^2$

(2)　(1)より、
ⅰ)　$f=c^2$のとき$B=(a^2､b^2,a^4,b^4,e^2,a^8)$となります。
ここで、条件３より、$a^2+b^2+a^4+b^4+e^2+a^8＝487$･･･････①　であり、
$c$が偶数だから、$a$も偶数です。ここで、$a≧4$なら、$a^8＝196^2＞487$
よって、$a=2$です。このとき、①は、
$4+b^2+16+b^4+e^2+256＝487$　また、$b$は奇数ですから、同様に$b=3$
従って、$e^2＝121$　よって、$e=11$

ⅱ）$f=e^2$のとき
$a^2+b^2+a^4+b^４+e^2+e^4＝487$
$b$奇数ですから、$b=3$
$a^2+9+a^4+81+e^2+e^4＝487$
$b=3$で$c,e、f$は偶数だから、$4≦c、6≦e$
$e=8$なら不適、よって$e=6$となるが、これも不適

よって、$(a,b,c,d,e,f)＝(2,3,4,9,11,16)$
【問題2】

$ｎ$を自然数とします。
$8^n$を$11$で割った余りが$3$となるものの自然数の集合を$A$
$11^n$を$17$で割った余りが$4$となる自然数の集合を$B$とします。

$A \cap B$の要素$m$の一般形を求め、最小となる要素を求めてください。

【解答2】

$8^n$を　$mod 11$　で考えます。
$8≡8,8^2≡9,8^3≡6,8^4≡4,8^5≡10,8^6≡3,8^7≡2,８^8≡5,8^9≡7,8^{10}≡1$
よって、$8^{n+10}≡8^n$であり、$11$で割って$3$余るのは、
$n=10k+6$となります。$k≧0の整数$
また、同様にして、$11^n$を$mod 17$　で考えると
$11^{n+16}≡11^n$となり、$11^4≡4$ですから、
$n=16l+4$　$l≧0の整数$

$A \cap B$だから、$10k+6＝16l+4$
よって、$8l－5k＝1$
$8(l－2)＝5(k－3)$より　$(l,k)＝(5m+2,8m+3)$であり、
$n=10k+6=80m+36$　$m≧0の整数$
よって、最小になるのは、$m=0$で、$n=36$･････(答)

【問題3】

$27^{1000}$の下5桁の整数を求めてください。

【解答3】

$27^{1000}＝81^{750}＝(80+1)^{750}$ですから
あとは、2項定理で$(80+1)^{750}＝\displaystyle \sum_{k= 0 }^{750} {}_{750} \mathrm{ C }_k80^ｋ・1^{750-k}$
＝$\displaystyle \sum_{k= 0 }^{750} {}_{750} \mathrm{ C }_k80^ｋ$
から、$ｋ＝0,1,2,3,4$の項の係数を計算すればよいです。

【問題4】

$△ABC$において、$AB=3,BC=4CA=5$とします。また、$∠ACB＝θ$とします。
以下を示してください。

(1)$30°<θ<40°$
(2)$θ>36°$
(3)$nθ＝30°+360°・m$を満たす整数$n,m$は存在しません。

【解等4】

(1)　$∠C=θ$とします。$sinθ＝3/5>1/2$ですから、$30°<θ<90°$
また、$sin3θ＝3sinθ－4sin^3θ=117/125$
$117/125>\sqrt{3}/2$より、$sin3θ>\sqrt{3}/2$
から、$30°<θ<40°$

(2)　$cos3θ=4cos^3θ－3sinθ＝7/25$
また、$sin5θ＝－237/(125･25)<0$
よって、(1)を使うと、$150°<θ<200°$で$180°<5θ$から、
$36°＜θ$

to be continued