偏微分方程式－ラプラスの方程式－

偏微分方程式

偏微分方程式は、大学の教養課程の物理や化学に必ず出てくるものとしては、熱や物質の拡散方程式や量子力学の波動方程式であるSchrodinger方程式があります。これらの微分方程式には、いずれもラプラシアン

　 \(\nabla ^2＝\Delta ＝ \frac{ \partial ^2 }{ \partial x ^2}+\frac{ \partial ^2 }{ \partial y^2}+\frac{ \partial ^2 }{ \partial z^2} \) を含んでおり、Laplaceの方程式と言われています。

ラプラシアン　 \(\nabla ^2＝ \frac{ \partial ^2 }{ \partial x ^2}+\frac{ \partial ^2 }{ \partial y^2}+\frac{ \partial ^2 }{ \partial z^2}\) 　 は、\(O-xy\)　直交座標でのものだから、微分方程式を解くには、極座標や円筒座標などを使った方がやりやすくなります。そこで、ラプラシアンを極座標で表してみましょう。

ラプラシアンの空間極座標での表示

空間極座標\(O-xy\)　平面での　極座標を　\((r,φ)\)　とし、\(z\)　軸との偏角を　\(θ\)　とすると、

\(x=r\sinθ \cosφ\)
\(y=r\sinθ \sinφ\)
\(z=ｒ\cosθ \)
\(r^2＝x^2+y^2+z^2\)
\(\tanφ ＝y/x、\tanθ ＝±\sqrt{x^2+y^2}/ｚ\))
ですから、
　 \(\nabla ^2＝ \frac{ \partial ^2 }{ \partial x ^2}+\frac{ \partial ^2 }{ \partial y^2}+\frac{ \partial ^2 }{ \partial z^2}\)
＝\(1/r^2・ \frac{ \partial }{ \partial r} (r^2 ・\frac{ \partial }{ \partial r} )+1/r^2\sinθ ・ \frac{ \partial }{ \partial θ}(\sinθ \frac{ \partial }{ \partial θ})+1/r^2\sin^2 θ ・ \frac{ \partial ^2 }{ \partial φ^2} \)

となります。基本的に合成関数の微分（偏微分）をすればよいことになります。

簡単なラプラスの方程式の解法

複雑なラプラスの方程式は、後日やるとして、ここでは簡単なラプラスの方程式を解いてみましょう。

　 \(\nabla ^2u＝ \frac{ \partial u^2 }{ \partial x ^2}+\frac{ \partial u^2 }{ \partial y^2}+\frac{ \partial u^2 }{ \partial z^2}＝0\)

これが一次元であれば簡単です。\(\frac{ d^2 u }{ dx^2 }＝0\)　から　\(u=ax+b\)　です。

二次元では、 \(\nabla ^2u＝ \frac{ \partial u^2 }{ \partial x ^2}+\frac{ \partial u^2 }{ \partial y^2} =0\)
ここで、\(u(x,y)＝X(x)Y(y)\)　することがこの形のラプラス方程式の一般的な解となります。このような方法を変数分離法と言います。

このときは、\(\frac{ \partial u^2 }{ \partial x ^2}＝Y・ \frac{ d^2 X}{ dx^2 } \)　　 \(\frac{ \partial u^2 }{ \partial y^2}＝X・ \frac{ d^2 Y}{ dｙ^2 } \) 　だから　
\(1/X・ \frac{ d^2 X}{ dx^2 }+ 1/Y・ \frac{ d^2 Y}{ dｙ^2 } ＝0\) 　となります。

ここで、\(\frac{ d^2 X}{ dx^2 } /X＝k^2、 \frac{ d^2 Y}{ dｙ^2 } /Y＝－ｋ^2\)　とおいても矛盾しません。
これらの2つの常微分方程式は、2階線形常微分方程式ですから、
前者は、\(X＝c\exp (ｋx )\exp ( -kx )\)、後者は　\(Y＝c’\exp (iky)\exp (-iky)\)　となり、

\(u＝\exp ( ±k(x±iy))\)　となります。