偏微分、全微分－多変数関数の微分法－

偏微分について

多変数関数の微分法を偏微分といいます。x,yの２変数の関数Z=f(x,y)について考えてみましょう。考えている変域で、x,yについて、微分可能であるとします。ｚをｘで偏微分するのは、ｙを定数とみなしｘについて微分する事をいいます。そして、
\(\frac{ \partial ｚ}{ \partial x }\)＝\(\displaystyle \lim_{ Δx \to 0 }( f(x+Δx,ｙ)－f(x,y))/Δx\)、\(\frac{ \partial ｚ}{ \partial ｙ }\)＝\(\displaystyle \lim_{ Δy \to 0 }( f(x,ｙ+Δｙ)－f(x,y))/Δy\)と書きます。

高階微分についても同様で、\(∂/∂x(∂z/∂x)=∂^2ｚ/∂^2x=fxx(x,y) \),

\(∂/∂y(∂z/∂y)=∂^2ｚ/∂^2y=fyy(x,y) \),\(∂/∂x(∂z/∂y)=(∂/∂x)(∂z/∂y)=fxy(x,y) \)　などとなります。

全微分と微分可能性

x,yの2変数関数z=f(x,y)において、P(x,y)の近傍で考えます。

\(Δｚ＝f(x+Δx,ｙ+Δy)－f(x,y)\)　とおきます。ここで、\(Δz＝A(Δx)+B(Δy)+εs\)････(1)でA,BはΔx、Δyに依存しない係数で、ｓ＝\(\sqrt{Δx^2+Δy^2}\)とするP(x,y)と動点(x+Δx、y+Δy)の距離とします。また、εは、ｓ→0のとき、ε→0とします。このとき、関数z=f(x,y)は、(x,y)において、微分可能であるといいます。(1)が成り立つなら、Δｙ＝0　から、ｓ＝lΔxl　とするなら、Δz/Δｘ＝A±ε　となります。

そのときには、Δx→0のときｓ→0だから、∂ｚ/∂ｘが存在し、Aに等しくなります。同様に、∂ｚ/∂ｙも存在し、Bに等しくなります。すなわち、(1)が成り立つときは、各方向への偏微分商が存在し、(∂ｚ/∂ｘ)Δx+(∂ｚ/∂y)Δyをｚの全微分といい、ｄｚとあらわします。また、z=x、z=yのときは、dx、dyですから、\(dz=(∂ｚ/∂ｘ)dx+(∂ｚ/∂y)dy\)となります。

また、ｚが微分可能なときは、dz=(∂ｚ/∂ｘ)Δx+(∂ｚ/∂y)Δy　は、(x,y)におけるz=f(x,y)の接平面を表しています。この平面上の座標を、（X､Y,Z)とすれば、dx,ｄｙ,dzは、X-x、Y-y、Z-zに等しいですから、
接平面の方程式は、 \(Z-z=(∂ｚ/∂ｘ)(X-x)+(∂ｚ/∂y)(Y-y)\)　となります。

偏微分の応用

物理学では、偏微分を使って法則を表すことがよく有ります。

電磁気学もそうですし、量子力学もそうです。物理学は、3次元空間をあつかうことが多いですから、(x,y,z)座標や、極座標などをよく使います。もちろん、時間のファクターが入ってくれば、4次元となり、(x,y,z,t)となるわけです。

よく使われる演算子には、3次元ベクトル空間であらわしますが、\(∇や∇^2＝△\)がよく使われます。x,y,z方向の単位ベクトルを、i,j,k　とすれば、
∇＝=i (∂/∂ｘ)+j (∂/∂y)+k(∂/∂z)　であり、ナブラといいます。これは、ベクトル解析演算子になります。△＝∇･∇の内積です。i･j＝j･k＝k･i＝0であり、iｘj＝K, jｘk＝i, kｘi=j　となります。ｘの演算はベクトルの外積を表しています。

たとえば、量子力学の波動関数のシュレディンガー方程式は、\(i\bar{h}∂ψ/∂t＝－(\bar{h})^2/2m･∇^2ψ+Eψ\)　となります。ψ＝ψ(,y,z,t)、\(i\bar{h}＝h/2π\)であり、ｈはプランク定数といいます。

シュレディンガーの波動方程式は、時間に依存する部分(time dependent)と、時間に依存しない(time independent) な部分に変数分離して解きます。Eはエネルギーですが、これを解くと、化学や物理で学ぶ原子の電子構造を解く事ができます。（つまり、1s,2s,2p,･･････などの電子軌道を解くことができるのです。）