体積と面積の計算－解答編－

体積と面積の計算

体積や面積の問題で難関大学の問題は、計算が面倒なものが多いものがあります。
計算力も必要ですよ、正確でかつスピーディーな問題処理能力を要求しています。
解説等は次にあります。　体積と面積の計算

体積の面積の解答

【問題１】

曲線\(ｙ＝2-ｘ^2\)と直線\(y=－ｘ\)との囲む部分の図形を、\(x軸\)の回りに回転して得られる回転体の体積を求めてください。
（大阪大）

【解答１】

\(ｙ＝2-ｘ^2\)と直線\(y=－ｘ\)のx軸の下方にある部分（ｘ≦0)を折り返した
図形を\(x軸\)の回りに回転させた部分の体積を求めればよいことになります。

よって、体積を\(V\)とすると、
\(V＝2π\displaystyle \int_{0}^{1}(２－ｘ^2)^2 dx\)
\(－π\displaystyle \int_{0}^{1}ｘ^2dx\)
+\(\displaystyle \int_{1}^{2 }x^2 dx\)
－\(π\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{2}(2-ｘ^2)^2 dx\)
＝\(4/15・π･(15+8\sqrt{2}\)

【問題2】

半径1の円があるとし、弦\(AP、AQ\)と直径\(AB\)の作る角度が、それぞれ、\(30°、60°\)であるとします。弦\(AP、AQ\)と円弧\(PQ\)ｄ囲まれた部分を、
直径\(AB\)の回りに回転して得られる立体の体積を求めてください。
（東大）

【解答２】

\(AB\)をｘ軸、中点を原点とし、原点で\(AB\)に垂直な直線をy軸とします。
\(P,Q,からｘ軸に垂線を下ろし、ABとの交点をP’、Q’\)とします。

\(△AQQ’、△APP’\)をx軸を軸として１回転してできる回転体の体積を
\(V_1、V_2\)とすると、

\(ｖ_1＝π/8、V_2＝3π/8\)

また、図形\(P’PQQ’\)をx軸の回りに回転した体積を\(V_3\)とすると、
\(V_3＝\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2}(1－ｘ^2) dx＝11π/12\)

ｙｐって、求める体積は、\(V_1－V_2＋V_3＝2π/3\)

【問題3】

曲線\(y=ｘ^3－4/3･ｘ\)上の点\(P\)を通る2本の接線が垂直になるように
\(P\)を定めるとします。

原点を\(Ｏ\)とし、線分\(ＯＰ\)と曲線との間にある部分の面積を求めてください。
（東京理科大）

【解答３】

\(P\)における接線に直交する接線の接点を\(Q、Qのｘ座標をα\)とします。Qにおける接線の方程式と、与えられた曲線の交点を求めると、\(ｘ＝－2α、点P\)です。

Pにおける接線の傾きは、\(12α^2－4/3\)ですから、直交条件から、

\(α＝±\sqrt{10}/6\) となります。Pの座標は\(－2α＝±\sqrt{10}/3\)

\(β＝±\sqrt{10}/3\)とおくと、\(OP\)は、\(ｙ＝(β^2－4/3)ｘ\)
交点のx座標は、\(-β、0、β\)となりますから、

求める面積は
\(ｌ\displaystyle \int_{α}^{β}(ｘ^2－β^2ｘ) dxｌ＝25/81\)